{VERSION 4 0 "IBM INTEL NT" "4.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 32 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 28 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 4 0 240 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 84 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 244 0 212 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 20 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 178 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 177 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1 }{CSTYLE "" -1 305 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 306 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 307 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 308 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 309 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 310 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 311 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 312 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 313 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 314 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 315 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 316 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 317 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 318 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 319 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 320 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 321 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 322 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 323 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 324 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 325 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 326 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 327 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 328 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 329 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 330 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 331 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 332 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 333 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 334 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 335 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 336 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 337 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 338 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 339 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 340 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 341 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 342 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 343 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 344 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 345 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 346 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 347 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 348 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 349 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 350 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }1 0 0 0 6 6 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 2" 3 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 120 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 4 4 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "Maple Output" 0 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 32 112 114 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Title" 0 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 12 12 0 0 0 0 0 0 19 0 }{PSTYLE "" 0 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE " " 0 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 260 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 14 " \301lgebra Linear" }}{PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 " " 0 "" {TEXT -1 10 "Introdu\347\343o" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "O s comandos de \301lgebra Linear formam um pacote chamado " }{TEXT 256 6 "linalg" }{TEXT -1 44 ", que deve ser carregado com o comando with: " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "with(linalg):" }}}{PARA 256 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 234 "Normalmente, terminarm os o comando de carregar pacotes com dois pontos para que as fun\347 \365es do pacote n\343o sejam mostradas. Somente as mensagens de aviso de redefini\347\343o de comandos ser\343o mostradas. Isto \351 o que \+ acontece com os comandos " }{TEXT 257 4 "norm" }{TEXT -1 3 " e " } {TEXT 258 5 "trace" }{TEXT -1 127 ", que servem primeiramente para cal cular norma de polin\364mios e para corre\347\343o de procedimentos, r espectivamente. Ap\363s o pacolte " }{TEXT 259 6 "linalg" }{TEXT -1 138 " ser carregado, eles passam a calcular norma de vetores e tra\347 o de matrizes. No presente contexto, queremos saber quais s\343o estas fun\347\365es:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "with(lina lg);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Vamos come\347ar vendo como proc essar vetores e matrizes." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Processando Vetores" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 186 "Para o M aple h\341 distin\347\343o entre vetores linha e vetores colunas, por \351m os comandos de incicializa\347\343o e manipula\347\343o s\343o o s mesmos. Vetores linha podem ser facilmente criados pelo comando " } {TEXT 288 6 "vector" }{TEXT -1 1 "." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "v1:=vector([a,b,c]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "Pode-se usar uma fun\347\343o para ca lcular cada elemento do vetor." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "v2:=vector(3,n->x^n);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 63 "Opera\347\365es aritm\351ticas elementares s \343o realizadas com o comando " }{TEXT 289 5 "evalm" }{TEXT -1 50 " e os pr\363prios operadores de soma e multiplica\347\343o." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "evalm(v1+1);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "evalm(v2*2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "evalm(v1+v2);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "A multiplica\347\343o de dois vetores n \343o \351 poss\355vel com " }{TEXT 290 5 "evalm" }{TEXT -1 112 ". Par a este prop\363sito existem duas fun\347\365es especiais que calculam \+ o produto interno e o produto cruzado que s\343o " }{TEXT 291 7 "dotpr od" }{TEXT -1 3 " e " }{TEXT 292 9 "crossprod" }{TEXT -1 17 " respecti vamente." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "v3:=crossprod(v1 ,v2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "dotprod(v1,v2);" } }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "As barr as em cima de " }{TEXT 349 1 "x" }{TEXT -1 104 " se relacionam ao comp lexo conjugado desta vari\341vel. Quando o segundo vetor possui valore s complexos, o " }{TEXT 293 7 "dotprod" }{TEXT -1 108 " automaticament e calcula a matriz Hermitiana, ou seja, constr\363i o vetor com valore s conjugados. Com a op\347\343o " }{TEXT 294 10 "orthogonal" }{TEXT -1 67 " esta mudan\347a \351 inibida permanecendo os pr\363prios valor es do vetor. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "dotprod([1, I],[1,I]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "dotprod([1,I] ,[1,I],orthogonal);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 196 "A nota\347\343o horizontal para o resultado do produto cruzado de dois vetores n\343o \351 visualmente claro. Para visualiza r melhor, pode-se colocar o vetor na forma vertical convertendo para u ma matriz 3x1." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "convert(v3 ,matrix);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "A transforma\347\343o de uma matriz coluna para um vetor tamb \351m pode ser feita com o comando " }{TEXT 295 7 "convert" }{TEXT -1 11 " e a op\347\343o " }{TEXT 296 6 "vector" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "A norma de um v etor \351 calculada pelo comando " }{TEXT 297 4 "norm" }{TEXT -1 55 " \+ onde o segundo par\342metro especifica o m\351todo. O valor " }{TEXT 298 7 "default" }{TEXT -1 65 " \351 infinito, ou seja, \351 determinad o pelo maior elemento do vetor." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "norm([a,b,c]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "Se um valor inteiro " }{TEXT 299 1 "n" }{TEXT -1 107 " \351 especificado, a norma \351 calculada como a raiz en\351sima da soma da en\351sima pot\352ncia de todos os elementos." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "norm([a,b,c],2);" }}}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Uma varia\347\343o deste comando \351 o " } {TEXT 300 9 "normalize" }{TEXT -1 34 " que normaliza o vetor utilizand o " }{XPPEDIT 18 0 "n = 2;" "6#/%\"nG\"\"#" }{TEXT -1 1 "." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "14*normalize([1,2,3]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "O comando " } {TEXT 301 5 "angle" }{TEXT -1 37 " calcula o \342ngulo entre dois veto res." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "angle([1,0,0],[0,1,0 ]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 18 "Definindo Matrizes" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Os comandos do pacote " }{TEXT 260 6 "linalg" }{TEXT -1 28 " para definir matrizes s\343o: " }{TEXT 261 48 "matrix, entermatrix, genmatrix, randmatrix, band" }{TEXT -1 3 " e " }{TEXT 262 4 "diag" }{TEXT -1 77 ". A t\355tulo de exemplo, vamo s definir duas matrizes e grav\341-las nas vari\341veis " }{TEXT 273 1 "A" }{TEXT -1 3 " e " }{TEXT 272 1 "B" }{TEXT -1 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "A := matrix( [ [1,2,3], [4,5,6] ] ) ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "B := matrix(3, 2, [a,1 ,1,d,e,1] );" }}}{PARA 259 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 221 " Na primeira matriz, entramos os elementos fornecendo ca da linha na forma de uma lista. Neste caso, n\343o \351 necess\341rio \+ especificar as dimens\365es da matriz. Na segunda, primeiro estipulamo s as dimens\365es da matriz como sendo " }{TEXT 287 3 "3x2" }{TEXT -1 127 ", depois fornecemos todos os elementos numa \372nica lista. O \+ pr\363prio Maple separa as linhas de acordo com as dimens\365es da mat riz." }{TEXT 266 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 175 "Podemos tamb\351m fornecer os elementos da matriz int erativamente. Primeiro, gravamos uma matriz com dimens\343o especifica da em uma determinada vari\341vel, e depois usamos o comando " }{TEXT 274 11 "entermatrix" }{TEXT -1 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "C:=matrix(2,2);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "entermatrix(C);" }}}{EXCHG {PARA 0 "enter element 1,1 > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "1/2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "enter element 1,2 > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "1/3;" }}}{EXCHG {PARA 0 "enter element 2,1 > \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "1/5;" }}}{EXCHG {PARA 0 "enter element 2,2 > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "1/6;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 173 "Ap\363s a matriz ter sido definida, \351 poss \355vel trocar um elemento. Temos que atribuir o novo valor ao element o correspondente. Por exemplo, vamos trocar 1/6 por 1/7 na posi\347 \343o " }{TEXT 285 5 "<2,2>" }{TEXT -1 11 " da matriz " }{TEXT 282 1 " C" }{TEXT 283 3 ": " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "C[2, 2] := 1/7;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 2 "C;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 145 " Vamos verifica r que a mudan\347a foi feita com sucesso. Para ver os elementos de uma matriz temos que usar algum comando de avalia\347\343o, por exemplo \+ " }{TEXT 284 5 "evalm" }{TEXT -1 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "evalm(C);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 289 "As opera\347\365es de soma e potencia\347\343o d e matrizes s\343o feitas com os operadores ``+'' e ``^'' usuais de som a e potencia\347\343o de n\372meros. A multiplica\347\343o de matrizes , n\343o sendo comutativa, \351 feita pelo operador ``&*'' (ampersand \+ vezes). As express\365es matriciais devem ser envolvidas pelo comando \+ " }{TEXT 271 5 "evalm" }{TEXT -1 14 ", acr\364nimo de " }{TEXT 270 26 "evaluate in matrix context" }{TEXT -1 14 ". Por exemplo:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "evalm((A&*B + C)^(-1));" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 176 "A potencia\347 \343o por um n\372mero negativo, quer dizer a invers\343o da matriz, e subseq\374ente potencia\347\343o pelo m\363dulo do n\372mero. A inver sa tamb\351m pode ser encontrada atrav\351s do comando " }{TEXT 263 7 "inverse" }{TEXT -1 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 " inverse(matrix([[a,b],[c,d]]));" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 111 "Quando uma matriz tem uma regra de forma \347\343o, \351 poss\355vel repassar esta regra como terceiro argument o do comando " }{TEXT 265 6 "matrix" }{TEXT -1 118 ". Os dois primeiro s argumentos devem ser as dimens\365es da matriz. Suponha que queiramo s definir uma matriz de dimens\343o " }{TEXT 286 3 "3x4" }{TEXT -1 35 ", onde o elemento \351 dado por " }{XPPEDIT 18 0 "i/j" "6#*&%\" iG\"\"\"%\"jG!\"\"" }{TEXT -1 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "matrix(2, 5, (i,j) -> i*j);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 320 "Existem v\341rias matriz es especiais que s\343o usadas com frequ\352ncia em \301lgebra Linear. Muitas delas t\352m comandos espec\355ficos para ger\341-las. Por exe mplo, as matrizes diagonais quadradas podem ser geradas atrav\351s do \+ comando diag. Neste caso, \351 bem mais econ\364mico entrar os element os atrav\351s deste comando do que com o comando " }{TEXT 259 6 "matri x" }{TEXT -1 95 ", pois neste \372ltimo, ter\355amos que fornecer os z eros fora da diagoanal. Vejamos alguns exemplos:" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "diag(1,2,3,4);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "B:=diag(a^2$3);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "O comando " }{XPPEDIT 18 0 "a$3" "6#-%\"$ G6$%\"aG\"\"$" }{TEXT -1 38 " gera uma sequ\352ncia de tr\352s element os " }{XPPEDIT 18 0 "a" "6#%\"aG" }{TEXT -1 59 ", de forma que o \372l timo comando dado acima \351 equivalente a " }{TEXT 260 4 "diag" } {TEXT -1 111 "(a,a,a). Podemos tamb\351m criar matrizes diagonais em b loco. Vamos usar a matriz C, definida acima com o comando " }{TEXT 261 12 "entermatrix," }{TEXT -1 30 " para criar a seguinte matriz:" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "diag(C,C,B);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "Um caso particular d e matriz diagonal \351 a matriz identidade. Ela pode ser criada com o \+ comando " }{TEXT 256 4 "diag" }{TEXT -1 21 ", da seguinte forma: " } {TEXT 262 9 "diag(1$n)" }{TEXT -1 7 ", onde " }{TEXT 263 1 "n" }{TEXT -1 139 " \351 a dimens\343o da matriz identidade. Existem outras forma s n\343o equivalentes de definir a matriz identidade. Podemos defin \355-la com o comando " }{TEXT 265 5 "array" }{TEXT -1 27 " com a fun \347\343o de indexa\347\343o " }{TEXT 264 8 "identity" }{TEXT -1 14 ". Por exemplo:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "ID := array (identity, 1..7, 1..4);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 " evalm(ID);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 153 "Existe uma forma mais abstrata da matriz identidade no Maple q ue \351 ``&*( )''. Esta forma assume a repesenta\347\343o usual depend endo do contexto. Por exemplo:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "evalm(C - &*()*lambda);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 375 "Neste exemplo, a matriz ``&*( )'' assumi u a dimens\343o 2 porque ela est\341 somada a matriz C que tem dimens \343o 2. Na maioria dos casos, n\343o \351 necess\341rio usar a matriz identidade, pois o Maple assume que, quando um n\372mero est\341 soma ndo a uma matriz, este n\372mero est\341 multiplicado pela matriz iden tidade de dimens\343o conveniente. De forma que o comando acima \351 e quivalente ao comando " }{TEXT 266 15 "evalm(C-lambda)" }{TEXT 267 1 " ." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "evalm(C - lambda);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 108 " Vamos ver outras matrizes especiais. Se a matriz for uma faixa em torn o da diagonal, podemos usar o comando " }{TEXT 257 5 "band:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "band([-1,1,2],6);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "O \372ltimo argumento \351 a dimens\343o da matriz. O primeiro argumento \351 a lista dos e lementos da faixa. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 43 "A matriz de Toeplitz \351 gerada pelo comando " }{TEXT 268 8 "toeplitz" }{TEXT -1 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "toeplitz([alpha,1,beta,2]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 41 "A matriz Jacobiana \351 criada pelo com ando " }{TEXT 302 8 "jacobian" }{TEXT -1 83 ". O exemplo a seguir most ra claramente como os elementos s\343o calculados. O comando " }{TEXT 303 5 "alias" }{TEXT -1 52 " foi usado para expressar a depend\352ncia das fun\347\365es " }{TEXT 304 1 "f" }{TEXT -1 2 ", " }{TEXT 305 1 "g " }{TEXT -1 3 " e " }{TEXT 306 1 "h" }{TEXT -1 25 " em rela\347\343o \+ \340s vari\341veis " }{TEXT 307 1 "x" }{TEXT -1 2 ", " }{TEXT 308 1 "y " }{TEXT -1 3 " e " }{TEXT 309 1 "z" }{TEXT -1 3 ". " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "alias(f=f(x,y,z),g=g(x,y,z),h=h(x,y,z)); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "jacobian([f,g,h],[x,y,z ]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "P ara criar matrizes com valores rand\364micos o comando " }{TEXT 310 10 "randmatrix" }{TEXT -1 50 " \351 usado. Como par\342metro adicional pode ser usado " }{TEXT 311 6 "sparse" }{TEXT -1 2 ", " }{TEXT 312 10 "symmetric," }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 313 10 "unimodular" }{TEXT -1 3 " e " }{TEXT 314 7 "entries" }{TEXT -1 153 ". No exemplo abaixo limi tamos o intervalo de escolha aleat\363ria dos n\372meros de 0 a 10, qu ando esta op\347\343o \351 omitida os valores podem estar entre -99 e \+ 99. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "randmatrix(2,2,entri es=rand(0..10));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "randmat rix(2,2,entries=rand);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "r andmatrix(2,2);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "O comando " }{TEXT 270 7 "hilbert" }{TEXT -1 38 " cria a matriz de Hilbert. O comando " }{TEXT 271 9 "sylvester" }{TEXT -1 69 " cria a matriz de Sylvester a p artir de dois polin\364mios, e o comando " }{TEXT 272 9 "frobenius" } {TEXT -1 96 " cria a matriz na forma can\364nica racional de outra mat riz. Podemos citar ainda os comandos como " }{TEXT 274 16 "hessian, he rmite" }{TEXT -1 3 " e " }{TEXT 273 5 "smith" }{TEXT -1 14 " entre out ros." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "hilbert;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 45 "Manipula\347\343o de Matrizes e Resolvendo Sistemas" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "Os principais com andos para manipula\347\343o estrutural com matrizes s\343o: " }{TEXT 256 137 "addcol, addrow, augment, col, row, coldim, rowdim, concat, co pyinto, delcols, delrows, extend, mulrow, mulcol, stack, submatrix, sw apcol " }{TEXT -1 1 "e" }{TEXT 261 8 " swaprow" }{TEXT -1 79 ". A maio ria dos nomes dos comandos falam por si s\363. As termina\347\365es ou prefixos " }{TEXT 258 3 "row" }{TEXT -1 3 " e " }{TEXT 259 3 "col" } {TEXT -1 57 " se referem a linha e coluna, respectivamente. O comando \+ " }{TEXT 260 6 "coldim" }{TEXT -1 64 ", por exemplo, fornece o n\372me ro de colunas da matriz. O comando " }{TEXT 262 7 "swaprow" }{TEXT -1 105 " troca duas linha de uma matriz. Vejamos alguns exemplos. Primei ro, vamos criar duas matrizes gen\351ricas " }{TEXT 257 1 "A" }{TEXT -1 5 " e B:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "A := matrix(2 ,3, (i,j) -> alpha||i||j);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "B := matrix(2,3, (i,j) -> beta||i||j);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Podemos juntar as matrizes " }{TEXT 266 1 "A" }{TEXT -1 32 " e \+ B lateralmente com o comando " }{TEXT 265 7 "augment" }{TEXT -1 32 ", \+ e verticalmente com o comando " }{TEXT 263 12 "stackmatrix:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "Estes comandos s\264est\343o dispon\355veis via \"with(linalg):\"." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "augme nt(A,B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "stackmatrix(A,B );" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 59 "Podemos extrair uma sub-matriz de \+ uma matriz com o comando " }{TEXT 267 10 "submatrix:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "submatrix(%,2..3,1..2);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "Podemos multiplicar uma determinada coluna de uma matr iz por um escalar:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "mulcol (A,1,m);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 74 "Usando o \372ltimo resultado , podemos apagar uma ou mais linha com o comando " }{TEXT 269 7 "delro ws" }{TEXT -1 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "delrow s(%,2..2);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 107 "A manipula\347\343o aritm\351ticas de matrizes, al\351m dos co mandos de soma e pontecia\347\343o vistos, abrange os comandos " } {TEXT 315 9 "transpose" }{TEXT -1 2 ", " }{TEXT 316 3 "det" }{TEXT -1 2 ", " }{TEXT 317 5 "trace" }{TEXT -1 2 ", " }{TEXT 318 4 "rank" } {TEXT -1 3 " e " }{TEXT 319 3 "map" }{TEXT -1 14 " entre outros." }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "A:=matrix([[1,2,3],[4,-5,6], [9,8,7]]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "O comando " }{TEXT 320 9 "transpose" }{TEXT -1 22 " calcula a t ransposta." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "transpose(A); " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "O de terminante \351 calculado pelo " }{TEXT 321 3 "det" }{TEXT -1 1 "." }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "det(A);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 "O " }{TEXT 322 5 "trace" } {TEXT -1 27 " retorna o tra\347o da matriz." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 9 "trace(A);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 "O " }{TEXT 323 4 "rank" }{TEXT -1 88 " mostra o \+ n\372mero de linhas ou de colunas linearmente indepententes existentes na matriz." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "rank([[1,2],[ 3,4]]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "rank([[1,2],[3,6 ]]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 "O " }{TEXT 327 3 "map" }{TEXT -1 148 " ser\341 visto em maiores detalhe s na parte de programa\347\343o mas por enquanto nos serve para realiz ar a mesma opera\347\343o para todos os elementos da matriz." }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "map(x->x^2,A);" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "O maple tamb\351m \+ \351 capaz de resolver um sistemas de equa\347\343o em forma de matriz . O comando \351 o " }{TEXT 324 8 "linsolve" }{TEXT -1 30 " que encont ra o vetor solu\347\343o " }{TEXT 325 1 "x" }{TEXT -1 12 " do sistema \+ " }{TEXT 326 7 "A*x = b" }{TEXT -1 1 "." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "B:=vector([14,12,46]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "linsolve(A,B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 25 "Autovalores e Autove tores" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 " Os autovetores e autovalores de uma matriz podem ser obtidos a partir \+ dos comandos " }{TEXT 276 10 "eigenvetcs" }{TEXT -1 3 " e " }{TEXT 275 11 "eigenvalues" }{TEXT -1 90 ", respectivamente. Como exemplo, va mos definir uma matriz quadrada e grav\341-la na vari\341vel " }{TEXT 277 1 "A" }{TEXT 278 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "A := matrix( [[0,1], [epsilon,0]] );" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "O polin\364mio caracter\355stico \351 obtido com o comando " }{TEXT 279 8 "charpoly" }{TEXT 280 1 ":" }} {EXCHG {PARA 260 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "with(linalg):" }}{PARA 257 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "charpoly(A,x);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "O comando " }{TEXT 281 10 "eigenvects" }{TEXT -1 143 " fornece uma sequ\352ncia de listas, on de os elementos destas listas s\343o o autovalor, a sua multiplicidade e os autovetores dentro de um conjunto:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "eigenvalues(A);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "autovetor := eigenvects(A);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 "Vamos selecionar os autov etores:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "av1 := autovetor[ 1][3][1];" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "av2 := autovet or[2][3][1];" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Outro exemplo:" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "B:=matrix( [[2,1,3],[0,4,2], [-4,10,0]] );" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "det(B-lambda||I):= subs(x='lambda',charpoly(B,x));" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 " L:=eigenvalues(B):lambda:=\{L\};" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "v:= eigenvects(B):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "for \+ i from 1 to nops(lambda) do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "'v'[ i]=v[i][3][1],` para`,'lambda'[i]=v[i][1],` de ordem`,v[i][2] ;" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 3 "od;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 2 "v;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "`Auto valores = `, L;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Exerc\355cios" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 13 "with(linalg):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } {TEXT 328 2 "1." }{TEXT -1 32 " Considere as seguintes matrizes" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6$/%\"AG-%'matrixG6#7%7%\"\"\"\"\"!\"\"$ 7%\"\"#!\"\"F,7%\"\"%F*\"\")/%\"BG-F&6#7%7$!\"$F.7$F+F*7$\"\"(F1" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "A := matrix([[1, 0, 3], [2, -1, 3], [4, 1, 8]]): " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "B := matrix([[-3, 2], [0, 1], [7, 4 ]]):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 "Calcule:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 329 3 "(a)" }{TEXT -1 2 " " }{XPPEDIT 18 0 "A^(-1);" "6#)%\"AG, $\"\"\"!\"\"" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "Inv(A)=inver se(A);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 332 3 "(b)" }{TEXT -1 2 " " } {XPPEDIT 18 0 "A*A^t;" "6#*&%\"AG\"\"\")F$%\"tGF%" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "Trans(A):= transpose(A);" }}}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "'AA^t'=evalm(A&*%);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 331 3 "(c)" }{TEXT -1 2 " " }{XPPEDIT 18 0 "B^t*A*B;" "6#*()%\" BG%\"tG\"\"\"%\"AGF'F%F'" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 " AB:=multiply(A, B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "Tran s(B):=transpose(B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "'B^t *A*B'=multiply(%, AB);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 330 3 "(d)" }{TEXT -1 2 " " }{XPPEDIT 18 0 "(2*A+B*B^t)*A^t;" "6#*&,&*&\"\" #\"\"\"%\"AGF'F'*&%\"BGF')F*%\"tGF'F'F')F(F,F'" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "'2*A+B*B^t'=evalm(2*A+multiply(B,transpose(B))); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "'(2*A+B*B^t)*A^t'=multi ply(op(2,%),transpose(A));" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 333 6 "2. (a)" }{TEXT -1 26 " Calcule o \+ determinate de " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[x^2+1, x, 0, 0], [x, x^2+1, \+ x, 0], [0, x, x^2+1, x], [0, 0, x, x^2+1]]);" "6#-%'matrixG6#7&7&,&*$% \"xG\"\"#\"\"\"F,F,F*\"\"!F-7&F*,&*$F*F+F,F,F,F*F-7&F-F*,&*$F*F+F,F,F, F*7&F-F-F*,&*$F*F+F,F,F," }{TEXT -1 2 " ." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "M4:=band([x,x^2+1,x], 4):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "dM4:= det(M4);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 334 3 "(b)" }{TEXT -1 27 " Calcule o determinante de " }{XPPEDIT 18 0 "matrix([[x^2+1, x, 0, 0, 0], [x, x^2+1, x, 0, 0], [0, x, x^2+1, x, 0] , [0, 0, x, x^2+1, x], [0, 0, 0, x, x^2+1]]);" "6#-%'matrixG6#7'7',&*$ %\"xG\"\"#\"\"\"F,F,F*\"\"!F-F-7'F*,&*$F*F+F,F,F,F*F-F-7'F-F*,&*$F*F+F ,F,F,F*F-7'F-F-F*,&*$F*F+F,F,F,F*7'F-F-F-F*,&*$F*F+F,F,F," }{TEXT -1 2 " ." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "M5:=band([x,x^2+1,x ],5):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "dM5:= det(M5);" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 335 3 "(c)" }{TEXT -1 271 " Observando os resultados de (a) e (b), voc \352 tem alguma id\351ia de como dever\341 ser o determinante de uma m atriz de ordem gen\351rica? Se sim, verifique a sua hip\363tese para u ma matriz de ordem 8. Se n\343o, calcule o determinante das matrizes d e dimens\343o 6 e 7 para ter uma id\351ia." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 24 "M8:=band([x,x^2+1,x],8):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "dM8:= det(M8);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 342 2 "3." }{TEXT -1 5 " Seja" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6%/%\"AG-%'matrixG6#7$7$\"\"\"F*7$!\"\"\"\"#/%\"BG-F&6 #7$7#F-7#\"\"$/%\"CG-F&6#7%7$F*F,7$F-\"\"!7$F=F5" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "Usando o Maple, calcule todos os produtos da forma " } {TEXT 336 3 "PQ " }{TEXT -1 6 " onde " }{TEXT 337 1 "P" }{TEXT -1 3 " \+ e " }{TEXT 338 2 "Q " }{TEXT -1 10 "podem ser " }{TEXT 341 1 "A" } {TEXT -1 2 ", " }{TEXT 340 1 "B" }{TEXT -1 3 " e " }{TEXT 339 1 "C" } {TEXT -1 21 " e suas transpostas, " }{TEXT 350 2 "ex" }{TEXT -1 50 "cl uindo produtos de uma matriz com sua transposta." }}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "m[1]:=matrix([[1, 1], [-1, 2]]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "m[2]:=matrix([[2], [3]]):" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 40 "m[3]:=matrix([[1, -1], [2, 0], [0, 3]]):" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "for i from 4 to 6 do m[i]:=t ranspose(m[i-3]) od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "for i from 1 to 6 do " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 " for j fro m 1 to 6 do" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 144 " if (coldim( m[i])=rowdim(m[j]))and(abs(i-j)<>3) then \+ print (eval(m[i])*eval(m[j])=evalm(m[i]&*m[j])) fi;" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "od;od;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } {TEXT 344 2 "4." }{TEXT -1 20 " Resolva as equa\347\365es" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,(%\"xG\"\"#%\"yG\"\"\"%\"zG!\"\"F&" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,(%\"xG\"\"#%\"yGF&%\"zG\"\"\"\"\")" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,(%\"xG\"\"\"%\"yG!\"\"%\"zG\"\"#\"\" $" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "usando a matrizes e verifique o resu ltado com " }{TEXT 343 5 "solve" }{TEXT -1 1 "." }}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "eq1:=2*x+y-z = 2:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "eq2:=2*x+2*y+z = 8:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "eq3:=x-y+2*z = 3:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 " A:=matrix([[2, 1, -1], [2, 2, 1],[1,-1,2]]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "B:=vector([2,8,3]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 14 "linsolve(A,B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "solve(\{eq1,eq2,eq3\},\{x,y,z\});" }}}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }{TEXT 346 2 "5." }{TEXT -1 70 " Ache duas solu\347 \365es, que n\343o sejam m\372ltiplas uma da outra, do sistema " } {XPPEDIT 18 0 "A*x = B;" "6#/*&%\"AG\"\"\"%\"xGF&%\"BG" }{TEXT -1 6 ", onde" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 "a)" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6$/%\"AG-%'matrixG6#7%7%\"\"!\"\"#\"\"%7%\"\"\"!\"\"!\"$7%F*F.F+/% \"BG-F&6#7%7#F+7#F/F7" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 41 "(Tente usar some nte as fun\347\365es do pacote " }{TEXT 345 6 "linalg" }{TEXT -1 2 ".) " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "A:=matrix([[0, 2, 4], [1 , -1, -3], [0, 1, 2]]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "B:=vecto r([2,-1,2]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "determinante:=det(A );posto:=rank(A); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "M:=au gment(A,B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "M_tri:=gauss elim(M);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "if (M_tri[3,4] \+ <> 0) then `Imposs\355vel` " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 " \+ else sol:=linsolve(A,B);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 " sol1 := subs(_t[1]=0,eval(sol));" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 " s ol2:= subs(_t[1]=1,eval(sol));" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 3 "fi ;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 "b) " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6$/%\"AG-%'matrixG6#7%7%\"\"!\"\"#\" \"%7%\"\"\"!\"\"!\"$7%F*F.F+/%\"BG-F&6#7%7#F+7#F/7#F." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "A:=matri x([[0, 2, 4], [1, -1, -3], [0, 1, 2]]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "B:=vector([2,-1,1]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "det erminante:=det(A);posto:=rank(A); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "M:=augment(A,B);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "M_tri:=gaussjord(M);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "if (M_tri[3,4] <> 0) then `Imposs\355vel` " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 " else sol:=linsolve(A,B);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 " sol1:= subs(_t[1]=0,eval(sol));" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 " sol2:= subs(_t[1]=1,eval(sol));" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 3 "fi;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }{TEXT 348 2 "6." }{TEXT -1 6 " Seja " }{XPPEDIT 18 0 "V[i,j];" "6#& %\"VG6$%\"iG%\"jG" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 347 1 "=" }{TEXT -1 2 " (" } {XPPEDIT 18 0 "x[i];" "6#&%\"xG6#%\"iG" }{TEXT -1 9 ")^j onde " } {XPPEDIT 18 0 "x[i] = 1/(1+i);" "6#/&%\"xG6#%\"iG*&\"\"\"F),&F)F)F'F)! \"\"" }{TEXT -1 41 " . Ache os autovalores de V para ordem 9." }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "M:=matrix(9, 9, (i,j) -> 1/( 1+i)^j);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "eigenvalues(M); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 123 "### WARNING: allvalues now returns a list of symbolic values instead of a sequence of lists \+ of numeric values\nallvalues(%);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{MARK "6 0 0" 40 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }