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330 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 
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imes" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 332 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 333 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 334 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 335 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 336 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 337 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 338 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 339 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 340 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 341 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 342 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 343 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 344 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 345 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 346 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 347 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 348 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 349 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 350 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 351 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 352 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Heading 3" -1 353 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 1 
1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 
354 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 
0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 355 1 {CSTYLE "" -1 -1 "T
imes" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 356 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 357 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 358 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 359 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 360 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 361 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 362 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 363 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 364 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 365 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 366 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 367 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 368 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 369 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 370 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 371 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 372 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 373 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 374 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 375 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 376 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 377 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 378 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 379 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 380 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 381 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Heading 3" -1 382 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Time
s" 1 14 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 383 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 384 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 385 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 386 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 387 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 388 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 389 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 390 1 
{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 2 2 0 1 }{PSTYLE "Normal" -1 391 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 
1 14 0 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }
{PSTYLE "Normal" -1 392 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 1 14 0 0 0 1 2 2 2 
2 2 2 1 1 1 1 }1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 2 2 0 1 }}
{SECT 0 {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 11 "C U R V A S" }}{PARA 19 "" 0 "" 
{TEXT 256 0 "" }{TEXT -1 4 "Por " }{URLLINK 17 "Sylvie Oliffson Kampho
rst" 4 "http://www.mat.ufmg.br/~syok" "" }{TEXT -1 4 " da " }{TEXT 
274 2 "UF" }{TEXT 273 1 "M" }{TEXT 275 1 "G" }}{PARA 260 "" 0 "" 
{TEXT -1 17 " Atualizado por  " }{URLLINK 17 "Milton Proc\363pio de Bo
rba" 4 "http://planeta.terra.com.br/educacao/miltonpb" "" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 116 "Este texto preten
de resumir para os alunos, as diversas possibilidades de utiliza\347
\343o do programa Maple no Estudo de:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "
" }}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 16 "1. Curvas Planas" }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "restart:with(plots):" }}}{SECT 1 
{PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 54 "1.1 Curvas Parametrizadas - Exemplos de c
urvas planas " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 87 "O tra\347o de uma curva plana  (parametrizada) pode ser desenha
 pelo Maple com o comando  " }{HYPERLNK 17 "plot" 2 "plot" "" }{TEXT 
-1 12 " como abaixo" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "plot(
[2*t,-1+2*t,t=-2..2]);" }{TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 
"Observe que o argumento do comando (entre par\352nteses) \351 uma " }
{HYPERLNK 17 "lista" 2 "lists" "" }{TEXT -1 107 " (entre colchetes) co
mposta de 3 elementos , as duas componentes da curva e o intervalo de \+
defini\347\343o desta." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Podemos tamb
\351m definir previamente x e y como  fun\347\365es de t." }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "x:= 2*t; y:= -1+2*t;" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "plot([x(t),y(t),t= -2..2]);" }}}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 154 "Observe \+
a diferen\347a entre os argumentos no comando plot acima e abaixo (des
enho do gr\341fico das fun\347oes x(t) e y(t)). Aqui x(t) e y(t) s\343
o elementos de um " }{HYPERLNK 17 "conjunto" 2 "set" "" }{TEXT -1 14 "
 (de fun\347\365es)." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "plot
(\{x(t),y(t)\},t=-2..2);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 35 "O comando plot tem v\341rias op\347\365es ( " }
{HYPERLNK 17 "plot,options" 2 "plot[options]" "" }{TEXT -1 131 "   ). \+
Abaixo definimos a escala como sendo a mesma para os dois eixos, damos
 nome aos eixos, incluimos um t\355tulo e definimos a cor." }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 91 "plot([x(t),y(t),t=-2..2],scaling=co
nstrained,labels=[\"x\",\"y\"],title=\"Figura 1\",color=blue);" }}}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 400 "OBS: Nos
 casos em que for necess\341rio tratar realmente as curvas como fun
\347\365es vetorials, precisaremos definir formalmente x(t) e y(t). O \+
Maple utiliza a nota\347\343o de defini\347\343o l\363gica de fun\347
\365es como aplica\347\365es (s\355mbolo ->) como nos comandos abaixo.
 A diferen\347a entre esta defini\347\343o e a anterior \351 que na an
terior s\363 redefinimos a letra \"x\" como sendo a mesmo coisa que 2t
 e a letra y como sendo -1 +2t. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 57 "x:= t-> 2*t; y:= t -> -1+2*t; plot([x(t),y(t),t= -2..2]);" }}}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 154 "Observe \+
neste exemplo acima que o Maple reconhece que a declara\347\343o x:= t
 -> cos(t) implica que as fun\347\365es x e cos s\343o iguais. Compare
 as duas declara\347\365es." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
33 "x:= t-> cos(t); y:= t->sin(t^2); " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 26 "x:= cos(t); y:= sin(t^2); " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Veja a mensagem de erro produzi
da pelo comando abaixo:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "p
lot([x(t),y(t),t=-2..2],labels=[x,y]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
81 "e compare com a op\347\343o correta onde damos aos labels as letra
s e n\343o as vari\341veis." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
43 "plot([x(t),y(t),t=-2..2],labels=[\"x\",\"y\"]);" }}}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 260 25 "Outros exemplos de cur
vas" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "
> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 95 "x:= cos(t)*(2*cos(t)-1); y:= sin(t)*(2*cos(t
)-1); plot([x(t),y(t),t=0..2*Pi],title=\"Figura 2\");" }}}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "No exemplo abaixo, d
efinimos os intervalos de x e y para desenho." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 135 "x:= 2*(sin(t))^2; y:= 2*(sin(t))^2*tan(t); plot
([x(t),y(t),t=-Pi/2..Pi/2],xview=-4..4,yview=-10..10,labels=[\"x\",\"y
\"],title=\"Figura 3\");" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 69 "x:= t; y:= t^2*sin(1/t); plot([x(t)
,y(t),t=0..0.1],title=\"Figura 5\");" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "Abaixo armazenamos  " }{XPPEDIT 18 0 
"alpha;" "6#%&alphaG" }{TEXT -1 146 " como um par de vari\341veis, obs
erve o inconveniente deste m\351todo para a execu\347\343o do comando \+
plot, onde devemos listar cada uma das componentes de  " }{XPPEDIT 18 
0 "alpha;" "6#%&alphaG" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "al
pha:=[3*cos(t),sin(t)];" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "plot([al
pha[1],alpha[2],t=0..2*Pi]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 125 "O argumento do comando plot para curvas \+
parametrizadas (uma lista de 3 elementos) pode tamb\351m ser reconstru
\355da com o comando " }{HYPERLNK 17 "op" 2 "op" "" }{TEXT -1 58 "  qu
e aplicado a uma lista, fornece os elementos da lista." }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "curva:=[op(alpha),t=0..2*Pi];" }}
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "plot(curva);" }}}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 145 "Podemos tamb\351m defini
r diretamente o objeto curva, como lista composta por duas fun\347\365
es de uma vari\341vel e um intervalo de varia\347\343o do par\342metro
. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "curva:=[(sin(t))^2,(co
s(t))^2,t=0..8*Pi];" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "plot(curva);
" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 16 "Outr
os exemplos:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 95 "trevo:=[cos(
t)*cos(2*t),sin(t)*cos(2*t),t=0..2*Pi]; plot(trevo,title=\"Trevo de qu
atro folhas\");" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "eight:=[sin(t),sin(t)*cos(t),t=0..2*Pi]; plot(
eight);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 82 "a:=3;b:=2;elipse:=[a*cos(t),b*sin(t),t=0..2*Pi]; plot
(elipse,scaling=constrained);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "Tente t
irar a op\347\343o de scaling para o desenho da elipse." }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "O comando plot pode \+
tambem desenhar uma lista de tra\347os de curvas simultaneamente." }}
{EXCHG {PARA 256 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "curva1:=[2*cos(t)*(1+cos(t
)),2*(sin(t)-t/5)*(1+cos(t)),t=-Pi/2..Pi/2];" }}{PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 66 "curva2:=[2*cos(t)*(1+cos(t)),2*(sin(t))*(1+cos(t)),t=
-Pi/2..Pi/2];" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "plot(\{curva1,curv
a2\});" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
95 "Com o Maple tamb\351m podemos trabalhar com  fun\347\365es definid
as por partes, utilizando o comando   " }{HYPERLNK 17 "piecewise" 2 "p
iecewise" "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "x:=t^3; y:= p
iecewise(t<0,t+1,t>0,1-t);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Observe o \+
gr\341fico da fun\347\343o y(t):" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 19 "plot(y(t),t=-1..1);" }}}{PARA 258 "" 1 "" {TEXT -1 20 "E o tra
\347o da curva: " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "plot([x(
t),y(t),t=-1..1]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 266 "" 0 "" {TEXT 261 29 "1.2 Derivad
a e Vetor Tangente" }}{PARA 267 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 268 "" 
0 "" {TEXT -1 310 "Nesta se\347\343o vamos estudar a derivada primeira
 de curvas e determinar vetores tangentes. Para trabalhar no Maple pod
emos definir uma curva plana como uma lista de fun\347\365es reais ou \+
como uma fun\347\343o que a cada valor do par\342metro associa uma lis
ta de fun\347\365es reais. \311 importante saber que o Maple distingue
 listas (" }{HYPERLNK 17 "list" 2 "list" "" }{TEXT -1 43 ") de arranjo
s ou matrizes unidimensionais (" }{HYPERLNK 17 "array" 2 "array" "" }
{TEXT -1 172 ") apesar dos dois objetos serem representados da mesma m
aneira (entre colchetes). Um array (na falta de uma boa tradu\347\343o
 em portug\373es) \351 um conjunto indexado de elementos; " }
{HYPERLNK 17 "vetores" 2 "vector" "" }{TEXT -1 3 " e " }{HYPERLNK 17 "
matrizes" 2 "matrix" "" }{TEXT -1 140 " s\343o casos particulares de a
rrays (respectivamente uni e bidimensionais). O i-\351simo elemento de
 uma lista ou de um array x, \351 dado por x[i]." }}{PARA 269 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 270 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Curvas como lis
tas " }}{PARA 271 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 272 "" 0 "" {TEXT -1 
14 "Inicializa\347\343o:" }}{EXCHG {PARA 273 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
20 "restart:with(plots);" }}}{PARA 274 "" 0 "" {TEXT -1 75 "Definimos \+
a curva como uma lista de duas fun\347\365es, armazenando-a na vari
\341vel" }{TEXT 0 8 " posicao" }{TEXT -1 110 " (nome dado a partir da \+
identifica\347\343o de uma curva como a trajet\363ria de um objeto pun
tual em fun\347\343o do tempo)." }}{EXCHG {PARA 275 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 29 "posicao:=[cos(t),2*sin(t)];  " }}}{PARA 276 "" 0 "" 
{TEXT -1 51 "O tipo de um objeto pode ser testado com o comando " }
{HYPERLNK 17 "type" 2 "type" "" }{TEXT -1 51 "  . O comando abaixo mos
tra que o Maple assumiu que" }}{PARA 277 "" 0 "" {TEXT -1 11 "a vari
\341vel " }{TEXT 0 7 "posicao" }{TEXT -1 29 " \351  uma lista e n\343o
 um vetor." }}{EXCHG {PARA 278 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "type(posicao
,list);type(posicao,array);" }}}{PARA 279 "" 0 "" {TEXT -1 5 "Como " }
{TEXT 0 7 "posicao" }{TEXT -1 103 "  \351 uma lista, para calcular seu
 valor em um par\342metro dado, devemos utilizar a sequ\352ncia de com
andos  " }{HYPERLNK 17 "subs" 2 "subs" "" }{TEXT -1 4 "  e " }
{HYPERLNK 17 "eval" 2 "eval" "" }{TEXT -1 5 "  ou " }{HYPERLNK 17 "eva
lf" 2 "evalf" "" }{TEXT -1 13 " como abaixo." }}{EXCHG {PARA 280 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "subs(t=Pi/4,posicao);" }}}{EXCHG {PARA 281 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "eval(%);" }}}{EXCHG {PARA 282 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 9 "evalf(%);" }}}{PARA 283 "" 0 "" {TEXT -1 59 "Observe o efeito d
e tentar tratar position como uma fun\347\343o." }}{EXCHG {PARA 284 ">
 " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "posicao(Pi/4);" }}}{PARA 285 "" 0 "" {TEXT 
-1 40 "O tra\347o da curva \351 obtida com o comando " }{HYPERLNK 17 "
plot" 2 "plot" "" }{TEXT -1 2 " ." }}{EXCHG {PARA 286 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 40 "plot([posicao[1],posicao[2],t=0..2*Pi]);" }}}{PARA 
287 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 288 "" 0 "" {TEXT -1 14 "A derivada,
 ou" }{TEXT 0 12 " velocidade " }{TEXT -1 23 "\351 obtida com o comand
o " }{HYPERLNK 17 "diff" 2 "diff" "" }{TEXT -1 77 " . Observe que a de
rivada de uma lista \351 a lista das derivadas dos elementos." }}
{EXCHG {PARA 289 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "velocidade:=diff(posicao,t
); " }}}{PARA 290 "" 0 "" {TEXT -1 114 "A derivada  para um determinad
o valor do par\342metro t deve portanto ser calculada atrav\351s dos c
omandos subs e eval:" }}{EXCHG {PARA 291 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "ev
al(subs(t=Pi/4,velocidade));" }}}{PARA 292 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 293 "" 0 "" {TEXT -1 45 "O m\363dulo da velocidade, que chamamos
 aqui de " }{TEXT 0 8 "rapidez " }{TEXT -1 10 "\351 dado por" }}
{EXCHG {PARA 294 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "rapidez:=simplify(sqrt(vel
ocidade[1]^2+velocidade[2]^2));" }}}{PARA 295 "" 0 "" {TEXT -1 33 "E s
eu gr\341fico pode ser desenhado:" }}{EXCHG {PARA 296 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 24 "plot(rapidez,t=0..2*Pi);" }}}{PARA 297 "" 0 "" {TEXT 
-1 126 "Lembre-se que a vari\341vel  rapidez tamb\351m n\343o represen
ta uma fun\347\343o para o Maple e portanto deve ser avaliada com subs
 e eval. " }}{EXCHG {PARA 298 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "eval(subs(t=P
i/4,rapidez));" }}}{PARA 299 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 300 "" 0 "
" {TEXT -1 8 "O vetor " }{TEXT 0 9 "tangente " }{TEXT -1 32 "(unit\341
rio) \351 uma lista dada por." }}{EXCHG {PARA 301 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 30 "tangente:=velocidade/rapidez; " }}}{PARA 302 "" 0 "" {TEXT -1 
178 "No entanto, o Maple n\343o entende o comando o produto (ou quocie
nte) de uma lista por um escalar como o produto (ou quociente) de cada
 elemento da lista, portanto devemos calcular " }{TEXT 0 8 "tangente" 
}{TEXT -1 27 " componente por componente." }}{EXCHG {PARA 303 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 56 "tangente:=[velocidade[1]/rapidez,velocidade[2]/rapi
dez];" }}}{EXCHG {PARA 304 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "eval(subs(t=Pi/4
,tangente));" }}}{EXCHG {PARA 305 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "evalf(%);
" }}}{PARA 306 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 307 "" 0 "" {TEXT -1 174 
"Podemos aproveitar a relativa identifica\347\343o do Maple de listas \+
com vetores (arrays unidimensionais) para utilizar rotinas pr\351 defi
nidas de \341lgebra linear contidas no m\363dulo  " }{HYPERLNK 17 "lin
alg" 2 "linalg" "" }{TEXT -1 57 " , tais como a norma de um vetor e pr
oduto por escalares." }}{EXCHG {PARA 308 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "wi
th(linalg);" }}}{PARA 309 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Assim a rapidez pode se
r calculada como a norma (" }{HYPERLNK 17 "norm" 2 "linalg,norm" "" }
{TEXT -1 103 ") da velocidade. Observe o argumento 2, que indica a nor
ma usual como raiz quadrada do produto interno." }}{EXCHG {PARA 310 ">
 " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "rapidez:=simplify(norm(velocidade,2),assume=r
eal);" }}}{PARA 311 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 312 "" 0 "" {TEXT 
-1 50 "O vetor tangente \351 definido como a multiplica\347\343o (" }
{HYPERLNK 17 "scalarmul" 2 "scalarmul" "" }{TEXT -1 20 " ) do vetor (l
ista) " }{TEXT 0 10 "velocidade" }{TEXT -1 14 " pelo escalar " }{TEXT 
0 10 "1/rapidez " }}{EXCHG {PARA 313 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "tangen
te:=scalarmul(velocidade,1/rapidez);" }}}{PARA 314 "" 0 "" {TEXT -1 
47 "Observe que neste caso o resultado da opera\347\343o " }{TEXT 0 
19 "scalarmul(tangente)" }{TEXT -1 11 " \351 do tipo " }{TEXT 0 5 "arr
ay" }{TEXT -1 7 " e n\343o " }{TEXT 0 4 "list" }}{EXCHG {PARA 315 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "type(tangente,list);type(tangente,array);" }}}
{PARA 316 "" 0 "" {TEXT -1 87 "consequentemente a maneira de avaliar e
ste objeto para um certo valor de t \351 diferente:" }}{EXCHG {PARA 
317 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "subs(t=Pi/4,eval(tangente));" }}}
{EXCHG {PARA 318 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "evalf(%);" }}}{PARA 319 "" 
0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 320 "" 1 "" {TEXT -1 46 "\311 possvel tamb
\351m tranformar o tipo da vari\341vel" }{TEXT 0 9 " tangente" }{TEXT 
-1 6 " para " }{TEXT 0 4 "list" }{TEXT -1 16 " com o comando  " }
{HYPERLNK 17 "convert" 2 "convert" "" }{TEXT -1 3 "  ." }}{EXCHG 
{PARA 321 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "tangente:=convert(scalarmul(veloc
idade,1/rapidez),list);" }}}{EXCHG {PARA 322 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
50 "type(tangente,list);evalf(subs(t=Pi/4,tangente)); " }}}{PARA 323 "
" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 324 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Podemos tamb\351
m utilizar diretamente o comando " }{HYPERLNK 17 "normalize" 2 "normal
ize" "" }{TEXT -1 67 " para calcular o vetor tangente: unit\341rio na \+
dire\347\343o da velocidade:" }}{PARA 325 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{EXCHG {PARA 326 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "tangente:=normalize(veloci
dade);" }}{PARA 327 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "type(tangente,array);" 
}}}{PARA 328 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 329 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" 
}}{SECT 1 {PARA 330 "" 0 "curvas como fun\347\365es" {TEXT -1 20 "Curv
as como  fun\347\365es" }}{PARA 331 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 332 
"" 0 "" {TEXT 262 13 "Inicializa\347\343o" }}{EXCHG {PARA 333 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 78 "restart:with(plots):with(linalg):setoptions(labels=
[x,y],scaling=constrained);" }}}{PARA 334 "" 0 "" {TEXT -1 109 "A se
\347\343o acima nos mostra que a representa\347\343o de curvas como li
stas apesar de mais simples tem inconvenientes." }}{PARA 335 "" 0 "" 
{TEXT -1 103 "Apresentamos portanto nesta se\347\343o a defini\347\343
o de curva como uma fun\347\343o que a cada par\342metro t associa (" 
}{HYPERLNK 17 "->" 2 "->" "" }{TEXT -1 43 ") uma lista de componentes \+
(fun\347\365es reais)." }}{EXCHG {PARA 336 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "
posicao:=t->[3*cos(t),2*sin(t)]; t0:=0: t1:=2*Pi: " }}}{PARA 337 "" 0 
"" {TEXT -1 112 "Observe as caracter\355sticas da vari\341vel position
, seu tipo e a forma de avaliar a fun\347\343o para um dado valor de t
." }}{EXCHG {PARA 338 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "type(posicao(t),list)
;posicao(t);posicao(Pi);" }}}{PARA 339 "" 0 "" {TEXT -1 101 "O tra\347
o da curva \351 obtido da maneira usual, com o comando plot. Observe q
ue com o aux\355lio do comando " }{HYPERLNK 17 "op" 2 "op" "" }{TEXT 
-1 175 " constru\355mos o argumento de plot, constitu\355do de uma lis
ta cujos dois primeiros elementos s\343o as duas componentes da curva \+
e o terceiro \351 o intervalo de varia\347\343o do par\342metro." }}
{EXCHG {PARA 340 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "plot([op(posicao(t)),t=t0.
.t1]);" }}}{PARA 341 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 342 "" 0 "" {TEXT 
-1 12 "A derivada (" }{TEXT 0 10 "velocidade" }{TEXT -1 73 ") \351 def
inida como fun\347\343o do par\342metro t como no comando abaixo. Ou s
eja, " }{HYPERLNK 17 "derivamos" 2 "diff" "" }{TEXT -1 2 "  " }{TEXT 
0 7 "posicao" }{TEXT -1 62 " com rela\347\343o ao seu argunmento gen
\351rico (chamado aqui de r) e " }{HYPERLNK 17 "escrevemos" 2 "subs" "
" }{TEXT -1 52 " a express\343o resultante para o par\342metro igual a
 t. " }}{EXCHG {PARA 343 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "velocidade:=t->sub
s(r=t,diff(posicao(r),r));" }}}{EXCHG {PARA 344 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 54 "velocidade(t);velocidade(Pi/2);eval(velocidade(Pi/2));" }}}
{PARA 345 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Para realmente " }{HYPERLNK 17 "avaliar
mos" 2 "eval" "" }{TEXT -1 97 " a velocidade em um determinado valor d
o par\342metro \351 mais conveniente usarmos a defini\347\343o abaixo.
" }}{EXCHG {PARA 346 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "velocidade:=t -> eval(
subs(r=t,map(diff,posicao(r),r)));" }}}{PARA 347 "" 0 "" {TEXT -1 37 "
O \"vetor\" tangente \351 definido como o " }{HYPERLNK 17 "unit\341rio
" 2 "normalize" "" }{TEXT -1 66 " na dire\347\343o da derivada. Observ
e a que n\343o foi necess\341rio fazer a " }{HYPERLNK 17 "convers\343o
" 2 "convert" "" }{TEXT -1 36 " para lista para avaliar a derivada." }
}{EXCHG {PARA 348 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "tangente:=t->normalize(ve
locidade(t));" }}{PARA 349 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG 
{PARA 350 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "type(tangente(t),list);tangente(t
);tangente(Pi/2);" }}}{PARA 351 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 352 "" 
0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 353 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Campo de T
angentes " }}{PARA 354 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 355 "" 0 "" 
{TEXT -1 169 "Nesta se\347\343o constru\355mos o campo dos vetores tan
gentes a uma curva, ou seja associamos (e representamos gr\341ficament
e) a cada ponto da curva o seu vetor tangente unit\341rio." }}{PARA 
356 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 357 "" 0 "" {TEXT 263 15 "Inicializa
\347\365es " }}{PARA 358 "" 0 "" {TEXT -1 20 "Carregamos o m\363dulo \+
" }{HYPERLNK 17 "plottools" 2 "plottools" "" }{TEXT -1 90 "  com v\341
rias rotinas gr\341ficas pr\351definidas para constru\347\343o de figu
ras geom\351tricas. Tamb\351m " }{HYPERLNK 17 "fixamos" 2 "setoptions
" "" }{TEXT -1 23 " as op\347\365es gr\341ficas de " }{HYPERLNK 17 "es
cala" 2 "scaling" "" }{TEXT -1 4 "  e " }{HYPERLNK 17 "eixos" 2 "axes
" "" }{TEXT -1 2 " ." }}{EXCHG {PARA 359 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "re
start:with(plots):with(linalg):with(plottools);" }}{PARA 360 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 42 "setoptions(scaling=constrained,axes=none);" }}}
{PARA 361 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 362 "" 0 "" {TEXT -1 18 "Defin
imos a curva " }{XPPEDIT 18 0 "alpha;" "6#%&alphaG" }{TEXT -1 31 " e o
 intervalo de par\342metros [ " }{XPPEDIT 18 0 "t[0];" "6#&%\"tG6#\"\"
!" }{TEXT -1 3 " , " }{XPPEDIT 18 0 "t[1];" "6#&%\"tG6#\"\"\"" }{TEXT 
-1 25 " ], bem como o seu tra\347o." }}{EXCHG {PARA 363 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 47 "alpha:=t->[t*cos(t),t*sin(t)]; t0:=0; t1:=2*Pi;" }}
{PARA 364 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "traco:=plot([op(alpha(t)),t=t0..t
1],color=magenta):" }}}{PARA 365 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 366 "" 
0 "" {TEXT -1 14 "Como na se\347\343o " }{HYPERLNK 17 "acima" 2 "" "cu
rvas como fun\347\365es" }{TEXT -1 33 ", definimos a fun\347\343o deri
vada de " }{XPPEDIT 18 0 "alpha;" "6#%&alphaG" }{TEXT -1 40 " e o veto
r tangente (tamb\351m como fun\347\343o)" }}{EXCHG {PARA 367 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 43 "derivada:=  t ->subs(r=t,diff(alpha(r),r)):" }}
{PARA 368 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "tangente:= t-> normalize(derivada
(t)):" }}}{PARA 369 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 370 "" 0 "" {TEXT 
-1 60 "O \"desenho\" do vetor tangente \351 definido atrav\351s do com
ando " }{HYPERLNK 17 "arrow" 2 "arrow" "" }{TEXT -1 29 " (flexa) que c
oloca no ponto " }{XPPEDIT 18 0 "alpha(t);" "6#-%&alphaG6#%\"tG" }
{TEXT -1 25 " uma flexa na dire\347\343o de " }{TEXT 264 11 "tangente(
t)" }{TEXT -1 1 "." }}{EXCHG {PARA 371 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "TVec
 := t->arrow(alpha(t),tangente(t),.03,.15,.2):" }}}{PARA 372 "" 0 "" 
{TEXT -1 14 "Com o comando " }{HYPERLNK 17 "seq" 2 "seq" "" }{TEXT -1 
24 " constru\355mos o conjunto " }{TEXT 0 6 "pontos" }{TEXT -1 48 " de
 valores do par\342metro dividindo o intervalo [" }{XPPEDIT 18 0 "t[0]
;" "6#&%\"tG6#\"\"!" }{TEXT -1 3 " , " }{XPPEDIT 18 0 "t[1];" "6#&%\"t
G6#\"\"\"" }{TEXT -1 5 "] em " }{TEXT 0 3 "div" }{TEXT -1 11 " segment
os." }}{EXCHG {PARA 373 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "div:=15: pontos:=\{
seq(t0 + i*(t1-t0)/div, i=0..div)\};" }}}{PARA 374 "" 0 "" {TEXT -1 
11 "O conjunto " }{TEXT 0 8 "TVectors" }{TEXT -1 130 " \351 constitu
\355do dos desenhos dos vetores tangentes calculados nos pontos defini
dos acima. Ou seja na aplica\347\343o, atrav\351s do comando " }
{HYPERLNK 17 "map" 2 "map" "" }{TEXT -1 13 " , da fun\347\343o " }
{TEXT 0 4 "TVec" }{TEXT -1 37 " a cada um dos elementos do conjunto " 
}{TEXT 0 6 "pontos" }{TEXT -1 1 "." }}{EXCHG {PARA 375 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 30 "TVectors := map(TVec, pontos):" }}}{PARA 376 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 377 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Com o comando " }
{HYPERLNK 17 "display" 2 "display" "" }{TEXT -1 26 "  exibimos conjunt
amente (" }{HYPERLNK 17 " union" 2 "union" "" }{TEXT -1 64 " ) o tra
\347o da curva e seu campo (conjunto) de vetores tangentes." }}{EXCHG 
{PARA 378 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "display(\{traco\} union TVectors)
;" }}}{PARA 379 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 380 "" 0 "" {TEXT -1 0 "
" }}}{PARA 381 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 382 "" 0 "" 
{TEXT -1 16 "Campo de Normais" }}{PARA 383 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 384 "" 0 "" {TEXT -1 112 "O vetor normal unit\341rio \351 o veto
r perpendicular ao vetor tangente tomado no sentido anti-hor\341rio a \+
partir deste:" }}{EXCHG {PARA 385 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 "vnormal :
= t -> convert([-tangente(t)[2],tangente(t)[1]],array):" }}}{PARA 386 
"" 0 "" {TEXT -1 75 "Note que form\347amos a defini\347\343o do vetor \+
normal como array e n\343o como lista." }}{PARA 387 "" 0 "" {TEXT -1 
0 "" }}{PARA 388 "" 0 "" {TEXT -1 58 "O \"desenho\" do vetor normal \+
\351 definido atrav\351s do comando " }{HYPERLNK 17 "arrow" 2 "arrow" 
"" }{TEXT -1 29 " (flexa) que coloca no ponto " }{XPPEDIT 18 0 "alpha(
t);" "6#-%&alphaG6#%\"tG" }{TEXT -1 30 " uma flexa na dire\347\343o do
 vetor" }{TEXT 265 13 " vnormal (t) " }{TEXT -1 161 ". O resultado \+
\351 completamente diferente se o segundo argumento de arrow for um po
nto  (lista) e n\343o um vetor.  A seguir definimos o conjunto dos vet
ores normais " }{HYPERLNK 17 "aplicando" 2 "map" "" }{TEXT -1 28 " a f
un\347\343o NVec a cada ponto." }}{PARA 389 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{EXCHG {PARA 390 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "NVec := t->arrow(alpha(t),
vnormal(t),.03,.15,.2):" }}}{EXCHG {PARA 391 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
30 "NVectors := map(NVec, pontos):" }}}{EXCHG {PARA 392 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 48 "display(\{traco\}  union TVectors union NVectors);" }
}}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 45 "1.3 Mudan\347a de par\342metr
o: comprimento de arco" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 162 "Abaixo definimos a curva (identificando-a com a pos
i\347\343o de um ponto em fun\347\343o do tempo) e seu intervalo de pa
r\342metro. Com o comando plot obtemos o tra\347o da curva." }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "posicao:=[exp(t/10)*cos(t),exp(t/10
)*sin(t)]; " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "t0:=0; t1:=4*Pi;" }}
}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "plot([op(posicao),t=t0..t1]
,axes=boxed,thickness=2,color=blue);" }{TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "O vetor tangente, ou ve
locidade \351 obtido pela derivada com o comando  " }{HYPERLNK 17 "dif
f" 2 "diff" "" }{TEXT -1 3 "  ." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 28 "velocidade:=diff(posicao,t);" }}}{PARA 264 "" 1 "" {TEXT -1 0 
"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 101 "O m\363dulo da velocidade \351 a ra
pidez, calculada abaixo. A nota\347\343o X[i] denota a i-\351sima comp
onente de X" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "rapidez:=sqrt
((velocidade[1])^2+(velocidade[2])^2);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 
"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "Esta express\343o pode ser simplific
ada com o comando  " }{HYPERLNK 17 "simplify" 2 "simplify" "" }{TEXT 
-1 20 " . Observe a op\347\343o  " }{HYPERLNK 17 "assume = real" 2 "as
sume" "" }{TEXT -1 67 "  que indica que as vari\341veis devem ser trat
adas como n\372meros reais" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
73 "rapidez:=simplify(sqrt((velocidade[1])^2+(velocidade[2])^2),assume
=real);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
78 "A seguir, definimos o comprimento de arco s percorrido quanto t va
ria de 0 a  " }{XPPEDIT 18 0 "tau;" "6#%$tauG" }{TEXT -1 19 " como a i
ntegral ( " }{HYPERLNK 17 "Int" 2 "Int" "" }{TEXT -1 27 " ) do m\363du
lo da velocidade." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "S:=Int(
rapidez,t=0..tau);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Em particular pode
mos calcular com o comando  " }{HYPERLNK 17 "evalf" 2 "evalf" "" }
{TEXT -1 36 "  os comprimentos correspondentes ( " }{HYPERLNK 17 "subs
" 2 "subs" "" }{TEXT -1 5 " ) a " }{XPPEDIT 18 0 "t[0];" "6#&%\"tG6#\"
\"!" }{TEXT -1 5 "  e  " }{XPPEDIT 18 0 "t[1];" "6#&%\"tG6#\"\"\"" }
{TEXT -1 3 " . " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "s0:=evalf
(subs(tau=t0,S));s1:=evalf(subs(tau=t1,S));" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 101 "Para reparametrizarmos a curva em fun\347\343o do comprimento \+
de arco precisamos determinar s em fun\347\343o de " }{XPPEDIT 18 0 "t
au;" "6#%$tauG" }{TEXT -1 45 "   efetuando a integral acima com o coma
ndo  " }{HYPERLNK 17 "value" 2 "value" "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 11 "s=value(S);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "( o mesmo resultado \351 obtido de
finindo-se s como a integral (num\351rica) da rapidez, com o comando \+
" }{HYPERLNK 17 "int" 2 "int" "" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 24 "s=int(rapidez,t=0..tau);" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
1 ")" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 13 "
e resolver ( " }{HYPERLNK 17 "solve" 2 "solve" "" }{TEXT -1 19 " ) a e
qua\347\343o s = s(" }{XPPEDIT 18 0 "tau;" "6#%$tauG" }{TEXT -1 7 ") p
ara " }{XPPEDIT 18 0 "tau;" "6#%$tauG" }{TEXT -1 20 " , ou seja exprim
ir " }{XPPEDIT 18 0 "tau;" "6#%$tauG" }{TEXT -1 36 " em fun\347\343o d
e s. Note que o s\355mbolo " }{HYPERLNK 17 "%" 2 "ditto" "" }{TEXT -1 
50 " indica a express\343o calculada no comando anterior." }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "solve(%,tau);" }}}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 27 "A express\343o encontrada de  " }{XPPEDIT 18 0 "tau;" "6#
%$tauG" }{TEXT -1 46 "(s) deve substituir t na express\343o da posi
\347\343o." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "r:=subs(t=%,po
sicao);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "ou seja, r(s) = position(" }
{XPPEDIT 18 0 "tau;" "6#%$tauG" }{TEXT -1 5 "(s))." }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Nos comandos abaixo, dese
nhamos a \"nova\" curva e calculamos sua velocidade e rapidez." }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 58 "plot([op(r),s=s0..s1],axes=b
oxed,thickness=2,color=green);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 39 "v:=simplify(diff(r,s),assume=positive);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "modv:= simplify(sqrt(v[1]^2+v[2]^2));" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 21 "1.4 Diedro de Frenet \+
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "O sistema formado pelos vetores tange
nte e normal em um ponto dado de uma curva  " }{XPPEDIT 18 0 "alpha;" 
"6#%&alphaG" }{TEXT -1 161 " constitui um referencial ortonormal m\363
vel denominado Diedro de Frenet. Nesta se\347\343o determinamos e exib
imos graficamente este sistema ao longo do tra\347o da curva." }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 268 15 "Iniciali
za\347\365es:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 20 "Carregamos o m\363dulo " }{HYPERLNK 17 "plottools" 2 "plo
ttools" "" }{TEXT -1 90 "  com v\341rias rotinas gr\341ficas pr\351def
inidas para constru\347\343o de figuras geom\351tricas. Tamb\351m " }
{HYPERLNK 17 "fixamos" 2 "setoptions" "" }{TEXT -1 23 " as op\347\365e
s gr\341ficas de " }{HYPERLNK 17 "escala" 2 "scaling" "" }{TEXT -1 4 "
  e " }{HYPERLNK 17 "eixos" 2 "axes" "" }{TEXT -1 2 " ." }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "restart:with(plots):with(linalg):wi
th(plottools);" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "se
toptions(scaling=constrained,axes=none);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "Definimos a curva " }{XPPEDIT 18 
0 "alpha;" "6#%&alphaG" }{TEXT -1 31 " e o intervalo de par\342metros \+
[ " }{XPPEDIT 18 0 "t[0];" "6#&%\"tG6#\"\"!" }{TEXT -1 3 " , " }
{XPPEDIT 18 0 "t[1];" "6#&%\"tG6#\"\"\"" }{TEXT -1 25 " ], bem como o \+
seu tra\347o." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "alpha:=t->[
t*cos(t),t*sin(t)]; t0:=Pi/3; t1:=3*Pi;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 51 "traco:=plot([op(alpha(t)),t=t0..t1],color=magenta):" }}}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Definimos a fun
\347\343o derivada de " }{XPPEDIT 18 0 "alpha;" "6#%&alphaG" }{TEXT 
-1 84 " e os vetores (eles s\343o mesmo to tipo array) tangente e norm
al (tamb\351m como fun\347\343o)." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 43 "derivada:= t -> subs(r=t,diff(alpha(r),r)):" }}{PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "tangente:= t -> normalize(derivada(t)):" 
}}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 "vnormal := t -> convert([-tangent
e(t)[2],tangente(t)[1]],array):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 75 "O \"desenho\" dos vetores tangente e norm
al s\343o definidos atrav\351s do comando " }{HYPERLNK 17 "arrow" 2 "a
rrow" "" }{TEXT -1 29 " (flexa) que coloca no ponto " }{XPPEDIT 18 0 "
alpha(t);" "6#-%&alphaG6#%\"tG" }{TEXT -1 31 " uma flexa na dire\347
\343o do vetor " }{TEXT 266 13 "tangente (t) " }{TEXT -1 2 "ou" }
{TEXT 267 13 " vnormal (t) " }{TEXT -1 118 ". Note que o resultado \+
\351 completamente diferente se o segundo argumento de arrow for um po
nto  (lista) e n\343o um vetor." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 50 "TVec := t->arrow(alpha(t),tangente(t),.03,.15,.2):" }}{PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "NVec := t->arrow(alpha(t),vnormal(t),.03,.1
5,.2):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
14 "Com o comando " }{HYPERLNK 17 "seq" 2 "seq" "" }{TEXT -1 24 " cons
tru\355mos o conjunto " }{TEXT 0 6 "pontos" }{TEXT -1 48 " de valores \+
do par\342metro dividindo o intervalo [" }{XPPEDIT 18 0 "t[0];" "6#&%
\"tG6#\"\"!" }{TEXT -1 3 " , " }{XPPEDIT 18 0 "t[1];" "6#&%\"tG6#\"\"
\"" }{TEXT -1 5 "] em " }{TEXT 0 3 "div" }{TEXT -1 11 " segmentos." }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "div:=15: pontos:=\{seq(t0 + \+
i*(t1-t0)/div, i=0..div)\};" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "O conjunt
o " }{TEXT 0 8 "TVectors" }{TEXT -1 130 " \351 constitu\355do dos dese
nhos dos vetores tangentes calculados nos pontos definidos acima. Ou s
eja na aplica\347\343o, atrav\351s do comando " }{HYPERLNK 17 "map" 2 
"map" "" }{TEXT -1 13 " , da fun\347\343o " }{TEXT 0 4 "TVec" }{TEXT 
-1 37 " a cada um dos elementos do conjunto " }{TEXT 0 6 "pontos" }
{TEXT -1 14 " . O conjunto " }{TEXT 0 8 "NVectors" }{TEXT -1 38 " \351
 o equivalente para vetores normais." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 30 "TVectors := map(TVec, pontos):" }}{PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 30 "NVectors := map(NVec, pontos):" }}}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Com o comando " }
{HYPERLNK 17 "display" 2 "display" "" }{TEXT -1 26 "  exibimos conjunt
amente (" }{HYPERLNK 17 " union" 2 "union" "" }{TEXT -1 74 " ) o tra
\347o da curva e seu campo (conjunto) de vetores tangentes e normais.
" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "display(\{traco\}  union
 TVectors union NVectors);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" 
}}}{PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 
19 "2. Curvas no Espa\347o" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
20 "restart:with(plots):" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 29 "2.1 \+
Tra\347ando Curvas no Espa\347o" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "O Mapl
e possui um comando pr\363prio para tra\347ar curvas no espa\347o ( " 
}{HYPERLNK 17 "spacecurve" 2 "spacecurve" "" }{TEXT -1 178 " ). O prim
eiro argumento \351 a curva, dada como uma lista de tr\352s fun\347
\365es reais [x(t),y(t),z(t)] e o segundo argumento \351 o intervalo d
o par\342metro, ou dom\355nio de defini\347\343o da curva." }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "spacecurve([cos(t),sin(t),t],t=0..4
*Pi);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "O intervalo de varia\347\343o d
o par\342metro tamb\351m pode ser inclu\355do no primeiro argumento" }
}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "spacecurve([cos(t),sin(t),t
,t=0..4*Pi]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 82 "O mesmo comando tra\347a uma lista de curvas (entre chave
s) como nos exemplos abaixo " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
74 "spacecurve(\{[sin(t),0,cos(t)],[cos(t)+1,sin(t),0]\},t=-Pi..Pi,axe
s=framed);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "Neste caso pode ser \372ti
l que cada curva tenha um intervalo diferente de par\342metro" }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 68 "spacecurve(\{[t*sin(t),t,t*c
os(t)],[4*cos(t),4*sin(t),0]\},t=-Pi..Pi);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 78 "spacecurve(\{[t*sin(t),t,t*cos(t),t=0..4*Pi],[4*cos
(t),4*sin(t),0,t=0..2*Pi]\});" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "Do ponto de vista formal, podemos definir
 a curva espacial como uma lista de 3 componentes" }}{EXCHG {PARA 0 ">
 " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "alpha:= [exp(0.1*t)*sin(t), exp(0.1*t)*cos(t)
,t];" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "spacecurve(alpha,t=
0..6*Pi);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 100 "Ou incluir na defini\347\343o o intervalo de varia\347\343o do
 par\342metro construindo uma lista de 4 componentes." }}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 139 "knot:= [ -10*cos(t) - 2*cos(5*t) + 15*si
n(2*t),\n         -15*cos(2*t) + 10*sin(t) - 2*sin(5*t), 10*cos(3*t), \+
t= 0..2*Pi];\nspacecurve(knot);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "Pode-se tamb\351m contruir o tra\347o obt
ido ligando uma sequ\352ncia de pontos, constru\355da com o comando  \+
" }{HYPERLNK 17 "seq" 2 "seq" "" }{TEXT -1 1 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 86 "helix_points := [seq([4*cos(r/10),6*sin(r/10),
5*r],r=0..10)];spacecurve(helix_points);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 32 "spacecurve(\{helix_points,knot\});" }}}}{SECT 1 
{PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 61 "2.2 Curvas Planas como casos particulares
 de curvas no espa\347o" }}{PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 78 " \311 claro qu
e o comando spacecurve tamb\351m pode ser utilizado para curvas planas
" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "alpha:=[exp(t*0.1)*cos(t
),exp(t*0.1)*sin(t),0];" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 75 "
x:=\"x\":y:=\"y\":z=\"z\":spacecurve(alpha,t=0..4*Pi,axes=normal,label
s=[x,y,z]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "Observe que redefinimos x
,y,z como sendo as letras x,y,z." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "spacecurve([cos(t),sin(t),0,
t=0..2*Pi],axes=normal,labels=[x,y,z]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "Neste caso, \351 conveniente mudar
 a posi\347\343o do \342ngulo de vis\343o atrav\351s da op\347\343o " 
}{HYPERLNK 17 "orientation" 2 "plot3d,options" "" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 87 "spacecurve([
cos(t),sin(t),0],t=0..2*Pi,axes=normal,labels=[x,y,z],orientation=[270
,0]);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "As op\347\365es do comando plot
 tamb\351m podem ser prefixadas para a se\347\343o atrav\351s de " }
{HYPERLNK 17 "setoptions3d" 2 "setoptions3d" "" }{TEXT -1 6 " e de " }
{HYPERLNK 17 "setoptions" 2 "setoptions" "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 81 "setoptions3d(scali
ng=constrained,orientation=[270,0],axes=normal,labels=[x,y,z]);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "spacecurve([cos(t),sin(t),0]
,t=0..2*Pi);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 
-1 45 "2.3 Mudan\347a de par\342metro: comprimento de arco" }}{PARA 0 
"" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "posi
cao:=[2*cos(t),2*sin(t),4*t]; " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "t
0:=0; t1:=1;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "spacecurve(
posicao,t=t0..t1,axes=boxed,thickness=2,color=blue);" }{TEXT -1 0 "" }
}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "O vetor
 tangente, ou velocidade \351 obtido pela derivada com o comando  " }
{HYPERLNK 17 "diff" 2 "diff" "" }{TEXT -1 3 "  ." }}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "velocidade:=diff(posicao,t);" }}}{PARA 264 "" 
1 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 101 "O m\363dulo da velo
cidade \351 a rapidez, calculada abaixo. A nota\347\343o X[i] denota a
 i-\351sima componente de X" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
67 "rapidez:=sqrt((velocidade[1])^2+(velocidade[2])^2+velocidade[3]^2)
;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "Est
a express\343o pode ser simplificada com o comando  " }{HYPERLNK 17 "s
implify" 2 "simplify" "" }{TEXT -1 20 " . Observe a op\347\343o  " }
{HYPERLNK 17 "assume = real" 2 "assume" "" }{TEXT -1 67 "  que indica \+
que as vari\341veis devem ser tratadas como n\372meros reais" }}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 89 "rapidez:=simplify(sqrt((velo
cidade[1])^2+(velocidade[2])^2+velocidade[3]^2),assume=real);" }}}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "A seguir,
 definimos o comprimento de arco s percorrido quanto t varia de t0 a  \+
" }{XPPEDIT 18 0 "tau;" "6#%$tauG" }{TEXT -1 19 " como a integral ( " 
}{HYPERLNK 17 "Int" 2 "Int" "" }{TEXT -1 27 " ) do m\363dulo da veloci
dade." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "S:=Int(rapidez,t=t0
..tau);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Em particular podemos calcula
r com o comando  " }{HYPERLNK 17 "evalf" 2 "evalf" "" }{TEXT -1 36 "  \+
os comprimentos correspondentes ( " }{HYPERLNK 17 "subs" 2 "subs" "" }
{TEXT -1 5 " ) a " }{XPPEDIT 18 0 "t[0];" "6#&%\"tG6#\"\"!" }{TEXT -1 
5 "  e  " }{XPPEDIT 18 0 "t[1];" "6#&%\"tG6#\"\"\"" }{TEXT -1 3 " . " 
}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "s0:=evalf(subs(tau=t0,S));
s1:=evalf(subs(tau=t1,S));" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 101 "Para repa
rametrizarmos a curva em fun\347\343o do comprimento de arco precisamo
s determinar s em fun\347\343o de " }{XPPEDIT 18 0 "tau;" "6#%$tauG" }
{TEXT -1 45 "   efetuando a integral acima com o comando  " }
{HYPERLNK 17 "value" 2 "value" "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 
1 0 11 "s=value(S);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "( o mesmo resultado \351 obtido definindo-se s \+
como a integral (num\351rica) da rapidez, com o comando " }{HYPERLNK 
17 "int" 2 "int" "" }{TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
25 "s=int(rapidez,t=t0..tau);" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 ")" }}}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 13 "e resolve
r ( " }{HYPERLNK 17 "solve" 2 "solve" "" }{TEXT -1 19 " ) a equa\347
\343o s = s(" }{XPPEDIT 18 0 "tau;" "6#%$tauG" }{TEXT -1 7 ") para " }
{XPPEDIT 18 0 "tau;" "6#%$tauG" }{TEXT -1 20 " , ou seja exprimir " }
{XPPEDIT 18 0 "tau;" "6#%$tauG" }{TEXT -1 36 " em fun\347\343o de s. N
ote que o s\355mbolo " }{HYPERLNK 17 "%" 2 "ditto" "" }{TEXT -1 50 " i
ndica a express\343o calculada no comando anterior." }}{EXCHG {PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "solve(%,tau);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
27 "A express\343o encontrada de  " }{XPPEDIT 18 0 "tau;" "6#%$tauG" }
{TEXT -1 46 "(s) deve substituir t na express\343o da posi\347\343o." 
}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "r:=subs(t=%,posicao);" }}}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "ou seja, r(s) = position(" }{XPPEDIT 18 
0 "tau;" "6#%$tauG" }{TEXT -1 5 "(s))." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Nos comandos abaixo, desenhamos a \"n
ova\" curva e calculamos sua velocidade e rapidez." }}{EXCHG {PARA 0 "
> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 58 "spacecurve(r,s=s0..s1,axes=boxed,thickness=2
,color=green);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "v:=simpli
fy(diff(r,s),assume=real);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
56 "modv:= simplify(sqrt(v[1]^2+v[2]^2+v[3]^2),assume=real);" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 21 "2.4 Tiedro de Frenet \+
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "O sistema formado pelos vetores tange
nte e normal em um ponto dado de uma curva  " }{XPPEDIT 18 0 "alpha;" 
"6#%&alphaG" }{TEXT -1 161 " constitui um referencial ortonormal m\363
vel denominado Diedro de Frenet. Nesta se\347\343o determinamos e exib
imos graficamente este sistema ao longo do tra\347o da curva." }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 278 15 "Iniciali
za\347\365es:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 20 "Carregamos o m\363dulo " }{HYPERLNK 17 "plottools" 2 "plo
ttools" "" }{TEXT -1 90 "  com v\341rias rotinas gr\341ficas pr\351def
inidas para constru\347\343o de figuras geom\351tricas. Tamb\351m " }
{HYPERLNK 17 "fixamos" 2 "setoptions" "" }{TEXT -1 23 " as op\347\365e
s gr\341ficas de " }{HYPERLNK 17 "escala" 2 "scaling" "" }{TEXT -1 4 "
  e " }{HYPERLNK 17 "eixos" 2 "axes" "" }{TEXT -1 2 " ." }}{EXCHG 
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "restart:with(plots):with(linalg):wi
th(plottools):" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "se
toptions(scaling=constrained,axes=none):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "Definimos a curva " }{XPPEDIT 18 
0 "alpha;" "6#%&alphaG" }{TEXT -1 31 " e o intervalo de par\342metros \+
[ " }{XPPEDIT 18 0 "t[0];" "6#&%\"tG6#\"\"!" }{TEXT -1 3 " , " }
{XPPEDIT 18 0 "t[1];" "6#&%\"tG6#\"\"\"" }{TEXT -1 25 " ], bem como o \+
seu tra\347o." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "alpha:=t->[
t,cos(t),sin(t)]; t0:=0; t1:=3*Pi;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 52 "alpha:=t->[exp(t),exp(-t),sqrt(2)*t]; t0:=-1; t1:=1;
" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "traco:=spacecurve(alpha
(t),t=t0..t1,color=magenta):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 
0 15 "display(traco);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 31 "Definimos a fun\347\343o derivada de " }{XPPEDIT 18 
0 "alpha;" "6#%&alphaG" }{TEXT -1 58 " e o vetor (do tipo array) tange
nte  (tamb\351m como fun\347\343o)." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 43 "derivada:= t -> subs(r=t,diff(alpha(r),r)):" }}{PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "tangente:= t -> evalf(normalize(derivada(
t))):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "derivada2:= t -> s
ubs(r=t,diff(alpha(r),r$2)):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "bin
ormal:=t->evalf(normalize(crossprod(derivada(t),derivada2(t)))):" }}
{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "vnormal:=t->evalf(crossprod(binorma
l(t),tangente(t))):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 75 "O \"desenho\" dos vetores tangente e normal s\343o defi
nidos atrav\351s do comando " }{HYPERLNK 17 "arrow" 2 "arrow" "" }
{TEXT -1 29 " (flexa) que coloca no ponto " }{XPPEDIT 18 0 "alpha(t);
" "6#-%&alphaG6#%\"tG" }{TEXT -1 31 " uma flexa na dire\347\343o do ve
tor " }{TEXT 276 13 "tangente (t) " }{TEXT -1 2 "ou" }{TEXT 277 13 " v
normal (t) " }{TEXT -1 118 ". Note que o resultado \351 completamente \+
diferente se o segundo argumento de arrow for um ponto  (lista) e n
\343o um vetor." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "TVec := t
->arrow(alpha(t),tangente(t),.02,.08,.2,color=blue):" }}{PARA 0 "> " 
0 "" {MPLTEXT 1 0 62 "BVec := t->arrow(alpha(t),binormal(t),.04,.15,.2
,color=green):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 59 "NVec := t->arrow(
alpha(t),vnormal(t),.04,.15,.2,color=red):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "Com o comando " }{HYPERLNK 17 "
seq" 2 "seq" "" }{TEXT -1 24 " constru\355mos o conjunto " }{TEXT 0 6 
"pontos" }{TEXT -1 48 " de valores do par\342metro dividindo o interva
lo [" }{XPPEDIT 18 0 "t[0];" "6#&%\"tG6#\"\"!" }{TEXT -1 3 " , " }
{XPPEDIT 18 0 "t[1];" "6#&%\"tG6#\"\"\"" }{TEXT -1 5 "] em " }{TEXT 0 
3 "div" }{TEXT -1 11 " segmentos." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 52 "div:=5: pontos:=\{seq(t0 + i*(t1-t0)/div, i=0..div)\}
;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "O conjunto " }{TEXT 0 8 "TVectors" 
}{TEXT -1 130 " \351 constitu\355do dos desenhos dos vetores tangentes
 calculados nos pontos definidos acima. Ou seja na aplica\347\343o, at
rav\351s do comando " }{HYPERLNK 17 "map" 2 "map" "" }{TEXT -1 13 " , \+
da fun\347\343o " }{TEXT 0 4 "TVec" }{TEXT -1 37 " a cada um dos eleme
ntos do conjunto " }{TEXT 0 6 "pontos" }{TEXT -1 14 " . O conjunto " }
{TEXT 0 8 "NVectors" }{TEXT -1 38 " \351 o equivalente para vetores no
rmais." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "TVectors := map(TV
ec, pontos):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "BVectors := map(BVe
c, pontos):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "NVectors := map(NVec
, pontos):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 14 "Com o comando " }{HYPERLNK 17 "display" 2 "display" "" }{TEXT 
-1 107 "  exibimos conjuntamente o tra\347o da curva e seu campo (conj
unto) de vetores tangentes e normais e binormais" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "display(traco,TVectors, BVectors, NVectors);" 
}}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" 
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