{VERSION 4 0 "IBM INTEL NT" "4.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "Hyperlink" -1 17 "" 0 1 0 128 128 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 23 "Courier" 1 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 }{CSTYLE " Help Normal" -1 30 "Times" 1 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE " " -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 } {CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 229 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 61 1 160 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }{CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 6 1 108 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 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-1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 262 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 263 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 264 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 265 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 266 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 267 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 268 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 269 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 270 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 271 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 272 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 273 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 274 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 275 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 276 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 277 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 278 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 279 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 280 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 281 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 20 "Equa\347\365es diferencias" }} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Introdu\347\343o" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "O n\372cleo do comando " }{HYPERLNK 17 "dsolve " 2 "dsolve" "" }{TEXT -1 255 " foi re-desenhado para a vers\343o 5.5. Este comando \351 agora um dos mais completos resolvedores de equa \347\365es e sistemas de equa\347\365es diferencias ordin\341rias se c ompararmos com os comandos equivalentes de outras linguagens de comput a\347\343o alg\351brica. As p\341ginas do " }{TEXT 270 12 "help on lin e" }{TEXT -1 101 " est\343o bem escritas e muito do que segue abaixo e st\341 diretamente baseado nelas. A sintaxe do comando " }{HYPERLNK 17 "dsolve" 2 "dsolve" "" }{TEXT -1 2 " \351" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 16 " dsolve(EDO)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 " dsolve(EDO, y(x), extra_args)" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 71 "para resolver uma equa \347\343o diferencial ordin\341ria com condi\347\365es iniciais" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 " dsolve(\{EDO, CI's\}, y(x), extra_ar gs)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "pa ra resolver um sistema de equa\347\365es diferenciais ordin\341rias" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 13 " dsolve(\{" }{TEXT 23 11 "seq_de_ED Os" }{TEXT -1 39 ", CI's\}, \{y(x), z(x), ...\}, extra_args)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "onde " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }{TEXT 23 10 "EDO \351 uma " }{TEXT -1 29 "equa\347\343o diferencial ordin \341ria" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }{TEXT 23 52 "y(x) \351 \+ uma fun\347\343o indeterminada de um \372nica vari\341vel" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 5 " " }{TEXT 23 30 "CI's s\343o as condic\365es in iciais" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }{TEXT 23 36 "\{seq_de_ED Os\} \351 um conjunto de EDO's" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 " \{ y(x), z(x), ...\}" }{TEXT 287 62 " \351 um conjunto de fun\347\365es i ndeterminadas de uma \372nica vari\341vel" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }{TEXT 23 26 "extra_args \351 um argumento " }{TEXT -1 56 "o pcional que depende do tipo de problema a ser resolvido" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "Por exemplo, a equa \347\343o diferencial ordin\341ria n\343o linear de segunda ordem " }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "EDO:=x^4*diff(y(x),x,x)+(x* diff(y(x),x)-y(x))^3=0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "\351 i ntegrada explicitamente com o simples comando" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "dsolve(EDO);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "Observe a presen\347a das duas constates arbitr\341rias " } {XPPEDIT 18 0 "_C1;" "6#%$_C1G" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "_C2; " "6#%$_C2G" }{TEXT -1 102 ". Essa constantes s\343o determinadas pela s condi\347\365es iniciais. Por exemplo, se as condi\347\365es iniciai s s\343o" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "CI:=y(1)=1.3,D( y)(1)=3.4;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "ent\343o a sintaxe \+ nesse caso \351" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "dsolve( \{EDO,CI\},y(x));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "O sistema n \343o linear de EDO's" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 100 "s istema:=\{diff(f(x),x)=g(x),\n diff(g(x),x)=-exp(f(x)),\n \+ diff(h(x),x,x)=g(x)/f(x)\};" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "\351 resolvido da seguinte forma" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "dsolve(sistema,\{f(x),g(x),h(x)\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "dsolve(sistema,\{f(x),g(x),h(x)\},explici t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 55 "Note que a solu\347\343o expl\355cita s\363 foi da da para a fun\347\343o " }{XPPEDIT 18 0 "g(x);" "6#-%\"gG6#%\"xG" } {TEXT -1 15 ", enquanto que " }{XPPEDIT 18 0 "f(x);" "6#-%\"fG6#%\"xG " }{TEXT -1 27 " \351 determinada a partir de " }{XPPEDIT 18 0 "g(x); " "6#-%\"gG6#%\"xG" }{TEXT -1 2 " (" }{XPPEDIT 18 0 "h(x);" "6#-%\"hG6 #%\"xG" }{TEXT -1 13 " a partir de " }{XPPEDIT 18 0 "f(x);" "6#-%\"fG6 #%\"xG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "g(x);" "6#-%\"gG6#%\"xG" } {TEXT -1 67 "). Para obter a solu\347\343o expl\355cita de todas as fu n\347\365es, o par\342metro " }{TEXT 286 8 "explicit" }{TEXT -1 55 " d eve ser repassado como terceiro argumendo do comando " }{HYPERLNK 17 " dsolve" 2 "dsolve" "" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 30 "A solu\347\343o de uma EDO de ordem " } {XPPEDIT 18 0 "n;" "6#%\"nG" }{TEXT -1 58 " (ordem da derivada mais al ta) \351 dita geral se ela possui " }{XPPEDIT 18 0 "n;" "6#%\"nG" } {TEXT -1 263 " constantes arbitr\341rias. Se a EDO for linear, a solu \347\343o geral fornece todas as solu\347\365es poss\355veis. Se a EDO for n\343o-linear, podem existir solu\347\365es especiais (ditas sing ulares) que n\343o s\343o obtidas da solu\347\343o geral para quaisque r valores das constantes arbitr\341rias." }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 23 "M\351todo de Classifica\347\343o" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Uma das primeiras tentativas do comando " }{HYPERLNK 17 " dsolve" 2 "dsolve" "" }{TEXT -1 153 " \351 determinar se a EDO tem uma forma j\341 classificada de acordo com os livros da \341rea, em espec ial os livros Kamke[Ref], Murphy[Ref] e Zwillinger[Ref]. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 "As EDO's de pri meira ordem est\343o classificadas no Maple (" }{HYPERLNK 17 "?odeadvi sor,types" 2 "odeadvisor,types" "" }{TEXT -1 6 ") como" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 17 "" 0 "" {HYPERLNK 17 "Abel" 2 "odeadviso r[Abel]" "" }{TEXT -1 11 ", " }{HYPERLNK 17 "Abel2A" 2 "odead visor[Abel2A]" "" }{TEXT -1 9 ", " }{HYPERLNK 17 "Abel2C" 2 "od eadvisor[Abel2C]" "" }{TEXT -1 9 ", " }{HYPERLNK 17 "Bernoulli " 2 "odeadvisor[Bernoulli]" "" }{TEXT -1 5 ", " }{HYPERLNK 17 "Chin i" 2 "odeadvisor[Chini]" "" }{TEXT -1 10 ", \n" }{HYPERLNK 17 " Clairaut" 2 "odeadvisor[Clairaut]" "" }{TEXT -1 7 ", " } {HYPERLNK 17 "dAlembert" 2 "odeadvisor[dAlembert]" "" }{TEXT -1 6 ", \+ " }{HYPERLNK 17 "exact" 2 "odeadvisor[exact]" "" }{TEXT -1 10 ", \+ " }{HYPERLNK 17 "homogeneous" 2 "odeadvisor[homogeneous]" "" } {TEXT -1 3 ", " }{HYPERLNK 17 "homogeneousB" 2 "odeadvisor[homogeneou sB]" "" }{TEXT -1 3 ", \n" }{HYPERLNK 17 "homogeneousC" 2 "odeadvisor[ homogeneousC]" "" }{TEXT -1 3 ", " }{HYPERLNK 17 "homogeneousD" 2 "od eadvisor[homogeneousD]" "" }{TEXT -1 3 ", " }{HYPERLNK 17 "homogeneou sG" 2 "odeadvisor[homogeneousG]" "" }{TEXT -1 3 ", " }{HYPERLNK 17 "l inear" 2 "odeadvisor[linear]" "" }{TEXT -1 8 ", " }{HYPERLNK 17 "patterns" 2 "odeadvisor[patterns]" "" }{TEXT -1 7 ", \n" } {HYPERLNK 17 "quadrature" 2 "odeadvisor[quadrature]" "" }{TEXT -1 5 ", " }{HYPERLNK 17 "rational" 2 "odeadvisor[rational]" "" }{TEXT -1 7 ", " }{HYPERLNK 17 "Riccati" 2 "odeadvisor[Riccati]" "" }{TEXT -1 8 ", " }{HYPERLNK 17 "separable" 2 "odeadvisor[separable]" " " }{TEXT -1 20 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "As EDO's de segunda ordem (ou de outra \+ ordem qualquer) est\343o classificaficadas como" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 17 "" 0 "" {HYPERLNK 17 "Bessel" 2 "odeadvisor[B essel]" "" }{TEXT -1 7 ", " }{HYPERLNK 17 "Duffing" 2 "odeadvisor [Duffing]" "" }{TEXT -1 8 ", " }{HYPERLNK 17 "ellipsoidal" 2 "od eadvisor[ellipsoidal]" "" }{TEXT -1 7 ", " }{HYPERLNK 17 "ellipti c" 2 "odeadvisor[elliptic]" "" }{TEXT -1 5 ", " }{HYPERLNK 17 "Emde n" 2 "odeadvisor[Emden]" "" }{TEXT -1 8 ", \n" }{HYPERLNK 17 "erf " 2 "odeadvisor[erf]" "" }{TEXT -1 10 ", " }{HYPERLNK 17 "exac t_linear" 2 "odeadvisor[exact_linear]" "" }{TEXT -1 3 ", " } {HYPERLNK 17 "exact_nonlinear" 2 "odeadvisor[exact_nonlinear]" "" } {TEXT -1 3 ", " }{HYPERLNK 17 "Gegenbauer" 2 "odeadvisor[Gegenbauer] " "" }{TEXT -1 3 ", " }{HYPERLNK 17 "Halm" 2 "odeadvisor[Halm]" "" } {TEXT -1 9 ", \n" }{HYPERLNK 17 "Hermite" 2 "odeadvisor[Hermite] " "" }{TEXT -1 6 ", " }{HYPERLNK 17 "Jacobi" 2 "odeadvisor[Jacobi] " "" }{TEXT -1 9 ", " }{HYPERLNK 17 "Lagerstrom" 2 "odeadvisor[ Lagerstrom]" "" }{TEXT -1 8 ", " }{HYPERLNK 17 "Laguerre" 2 "ode advisor[Laguerre]" "" }{TEXT -1 5 ", " }{HYPERLNK 17 "Lienard" 2 "o deadvisor[Lienard]" "" }{TEXT -1 6 ", \n" }{HYPERLNK 17 "Liouville " 2 "odeadvisor[Liouville]" "" }{TEXT -1 4 ", " }{HYPERLNK 17 "linea r_ODEs" 2 "odeadvisor[linear_ODEs]" "" }{TEXT -1 4 ", " }{HYPERLNK 17 "missing" 2 "odeadvisor[missing]" "" }{TEXT -1 11 ", " } {HYPERLNK 17 "Painleve" 2 "odeadvisor[Painleve]" "" }{TEXT -1 5 ", \+ " }{HYPERLNK 17 "quadrature" 2 "odeadvisor[quadrature]" "" }{TEXT -1 4 ", \n " }{HYPERLNK 17 "reducible" 2 "odeadvisor[reducible]" "" } {TEXT -1 4 ", " }{HYPERLNK 17 "Titchmarsh" 2 "odeadvisor[Titchmarsh] " "" }{TEXT -1 5 ", " }{HYPERLNK 17 "Van_der_Pol" 2 "odeadvisor[Van _der_Pol]" "" }{TEXT -1 34 " " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "A classif ica\347\343o de uma EDO \351 feita com o comando " }{HYPERLNK 17 "odea dvisor" 2 "odeadvisor" "" }{TEXT -1 11 " do pacote " }{HYPERLNK 17 "DE tools" 2 "DEtools" "" }{TEXT -1 1 "." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "with(DEtools,odeadvisor);" }}}{PARA 280 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 272 "" 0 "" {TEXT -1 16 "EDO's de ordem 1" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Uma EDO d e primeira ordem \351 dita " }{HYPERLNK 17 "separable" 2 "odeadvisor[s eparable]" "" }{TEXT -1 19 " se ela tem a forma" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/-%%diffG6$-%\"yG6#%\"xGF**&-%\"fGF)\"\"\"-%\"gG6#F'F. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "A solu\347\343o geral \351" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,(-%$IntG6$-%\"fG6#%\"xGF+\"\"\"-F&6$*&F,F, -%\"gG6#%#_aG!\"\"/F3;%!G-%\"yGF*F4%$_C1GF,\"\"!" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "A EDO" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "EDO_se paravel:=exp(y(x)+sin(x))*diff(y(x),x)=1;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 " \351 separ\341vel. Podemos confirmar com o comando " } {HYPERLNK 17 "odeadvisor" 2 "odeadvisor" "" }{TEXT -1 2 ". " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "odeadvisor(EDO_separavel);" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 "A solu\347\343o \351 " }}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "dsolve(EDO_separavel);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "A EDO de " }{HYPERLNK 17 "Bernoulli" 2 "odeadvisor[Bernoul li]" "" }{TEXT -1 11 " \351 da forma" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 " 6#/-%%diffG6$-%\"yG6#%\"xGF*,&*&%\"AG\"\"\"F'F.F.*&%\"BGF.)F'%\"cGF.F. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "onde " }{XPPEDIT 18 0 "A;" "6#%\"AG" } {TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "B;" "6#%\"BG" }{TEXT -1 16 " s\343o f un\347\365es de " }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 3 " e " } {XPPEDIT 18 0 "c;" "6#%\"cG" }{TEXT -1 36 " \351 uma constante. Por ex emplo, a EDO" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "EDO_Bernoull i:= diff(y(x),x)=x*y(x)+y(x)^(1/2);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 " \351 do tipo " }{HYPERLNK 17 "Bernoulli" 2 "odeadvisor[Bernoulli]" "" }{TEXT -1 1 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "odeadvisor (EDO_Bernoulli);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 30 "e tem a seguinte sol u\347\343o geral" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "dsolve(E DO_Bernoulli);" }}}{PARA 281 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 273 "" 0 " " {TEXT -1 24 "EDO's de ordem 2 ou mais" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Uma EDO \351 linear se ela \351 da f orma," }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 274 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "F(x) = A*y(x)+B*diff(y(x),x)+C*diff(y(x),`$`(x,2))+` D`*diff(y(x ),x,x,x)+`...`;" "6#/-%\"FG6#%\"xG,,*&%\"AG\"\"\"-%\"yG6#F'F+F+*&%\"BG F+-%%diffG6$-F-6#F'F'F+F+*&%\"CGF+-F26$-F-6#F'-%\"$G6$F'\"\"#F+F+*&%#~ DGF+-F26&-F-6#F'F'F'F'F+F+%$...GF+" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "onde " }{XPPEDIT 18 0 "A;" "6#%\"AG" }{TEXT -1 2 ", " } {XPPEDIT 18 0 "B;" "6#%\"BG" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 18 0 "C;" "6#% \"CG" }{TEXT -1 2 ", " }{XPPEDIT 294 0 " D;" "6#%\"DG" }{TEXT -1 21 ", ... s\343o fun\347\365es de " }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 5 ". Se " }{XPPEDIT 18 0 "F(x) = 0;" "6#/-%\"FG6#%\"xG\"\"!" } {TEXT -1 72 ", a EDO \351 dita linear e homog\352nea. Se os coeficient es forem constantes, " }{HYPERLNK 17 "dsolve" 2 "dsolve" "" }{TEXT -1 73 " \351 capaz de achar a solu\347\343o geral da equa\347\343o homog \352nea. Por exemplo a EDO" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "EDO_linear:=diff(y(x),x$4)+a*diff(y(x),x$3)+" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 " b*diff(y(x),x$2)+c*diff(y(x),x)+d*y(x)=0; " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "tem a seguinte solu\347\343o geral" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "dsolve(EDO_linear);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "O \355ndice " }{XPPEDIT 18 0 "_R;" "6#%#_RG" }{TEXT -1 146 " do \+ somat\363rio acima assume os valores das ra\355zes de um polin\364mio \+ de quarta ordem. Para se obter o resultado expl\355cito, \351 necess \341rio dar o comando " }{TEXT 290 18 "_EnvExplicit:=true" }{TEXT -1 7 " (veja " }{HYPERLNK 17 "solve" 2 "solve" "" }{TEXT -1 3 "). " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "Para EDO's de ordem acima de 4, n\343o \+ \351 mais poss\355vel expandir o somat\363rio que aparece na solu\347 \343o. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 108 "Se a equa\347\343o n\343o for homog\352nea, a solu\347\343o geral \351 a solu\347\343o da parte hom og\352nea mais uma solu\347\343o particular. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Se os coeficientes dependem de " }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#% \"xG" }{TEXT -1 55 ", a EDO n\343o pode ser integrada de forma gen\351 rica (veja " }{HYPERLNK 17 "linear_ODEs" 2 "odeadvisor[linear_ODEs]" " " }{TEXT -1 21 " para mais detalhes)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "Uma ODE \351 dita " }{HYPERLNK 17 "mi ssing" 2 "odeadvisor[missing]" "" }{TEXT -1 26 " se ela tem uma das fo rmas" }}{PARA 270 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "F(x,diff(y(x),x),diff(y(x),`$ `(x,2)),diff(y(x),`$`(x,3)),`...`) = 0;" "6#/-%\"FG6'%\"xG-%%diffG6$-% \"yG6#F'F'-F)6$-F,6#F'-%\"$G6$F'\"\"#-F)6$-F,6#F'-F36$F'\"\"$%$...G\" \"!" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 "ou" }}{PARA 271 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "F(y(x),diff(y(x),x),diff(y(x),`$`(x,2)),diff(y(x), `$`(x,3)),`...`) = 0;" "6#/-%\"FG6'-%\"yG6#%\"xG-%%diffG6$-F(6#F*F*-F, 6$-F(6#F*-%\"$G6$F*\"\"#-F,6$-F(6#F*-F56$F*\"\"$%$...G\"\"!" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "No primeiro caso falta a vari \341vel " }{XPPEDIT 18 0 "y(x);" "6#-%\"yG6#%\"xG" }{TEXT -1 14 " e na segunda " }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 17 ". EDO's de orde m " }{XPPEDIT 18 0 "n;" "6#%\"nG" }{TEXT -1 9 " do tipo " }{HYPERLNK 17 "missing" 2 "odeadvisor[missing]" "" }{TEXT -1 50 " podem sempre se r reduzidas para uma EDO de ordem " }{XPPEDIT 18 0 "n-1;" "6#,&%\"nG\" \"\"F%!\"\"" }{TEXT -1 86 ". Isso n\343o garante a solu\347\343o compl eta a menos que a EDO reduzida possa ser resolvida. " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 39 "A ordem de uma EDO faltando a vari\341vel " }{XPPEDIT 18 0 "y(x);" "6#-%\"yG6#%\"xG" }{TEXT -1 53 " (primeiro tipo) pode ser reduzida pela substitui\347\343o " }{XPPEDIT 18 0 "diff(y(x),x)*`->`* z(x);" "6#*(-%%diffG6$-%\"yG6#%\"xGF*\"\"\"%#->GF+-%\"zG6#F*F+" } {TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Se a EDO puder ser reso lvida para " }{XPPEDIT 18 0 "z(x);" "6#-%\"zG6#%\"xG" }{TEXT -1 55 ", \+ a solu\347\343o final \351 obtida por uma integra\347\343o simples. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Uma EDO sem apresentar a vari\341vel " }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 106 " explicitamente requer um a t\351cnica um pouco mais rebuscada. Para reduzir a ordem, a substitu i\347\343o deve ser " }{XPPEDIT 18 0 "diff(y(x),x)*`->`*z(y);" "6#*(-% %diffG6$-%\"yG6#%\"xGF*\"\"\"%#->GF+-%\"zG6#F(F+" }{TEXT -1 27 ". Note que a nova vari\341vel " }{XPPEDIT 18 0 "z(y);" "6#-%\"zG6#%\"yG" } {TEXT -1 31 " deve ser vista como fun\347\343o de " }{XPPEDIT 18 0 "y; " "6#%\"yG" }{TEXT -1 63 ". Usando a regra da cadeia podemos ver que a substitui\347\343o para " }{XPPEDIT 18 0 "``*diff(y(x),x,x)*``;" "6#* (%!G\"\"\"-%%diffG6%-%\"yG6#%\"xGF,F,F%F$F%" }{TEXT -1 10 " deve ser \+ " }{XPPEDIT 18 0 "z(y)*diff(z(y),y);" "6#*&-%\"zG6#%\"yG\"\"\"-%%diffG 6$-F%6#F'F'F(" }{TEXT -1 123 ". Note a redu\347\343o de uma ordem na d erivada. O mesmo vale para as outras ordens. A EDO transformada \351 r esolvida considerando " }{XPPEDIT 18 0 "y;" "6#%\"yG" }{TEXT -1 28 " c omo vari\341vel independente." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Por exemplo, considere a EDO de segunda o rdem do tipo " }{HYPERLNK 17 "missing" 2 "odeadvisor[missing]" "" } {TEXT -1 6 " (sem " }{XPPEDIT 18 0 "y(x);" "6#-%\"yG6#%\"xG" }{TEXT -1 7 " e sem " }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 22 ") completam ente geral." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "EDO_sem_x_nem _y := F(diff(y(x),x),diff(y(x),x,x))=0;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "Observe que a classifica\347\343o indica que a EDO n\343o tem expl icitamente as vari\341veis " }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "y(x);" "6#-%\"yG6#%\"xG" }{TEXT -1 1 "." }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "odeadvisor(EDO_sem_x_nem_y); " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "Essa EDO pode ser completamente inte grada." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "dsolve(EDO_sem_x_n em_y);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Vejamos um exemplo mais concre to." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "EDO:= diff(y(x),x,x) \+ = y(x)^5;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Essa EDO n\343o tem a vari \341vel " }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 27 " aparecendo expl icitamente." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "odeadvisor(ED O);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Para obter informa\347\365es sobr e o m\351todo de solu\347\343o" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "infolevel[dsolve]:=2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "res:= dsolve(EDO);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "i nfolevel[dsolve]:=1;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Podemos tecer v \341rias observa\347\365es:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 13 "1. O coman do " }{MPLTEXT 1 0 20 "infolevel[dsolve]:=2" }{TEXT -1 106 " permite q ue o usu\341rio acompanhe o m\351todo usado no processo de integra\347 \343o da EDO. No caso acima, o m\351todo " }{TEXT 289 17 "missing vari ables" }{TEXT -1 111 " reduz a EDO de segunda ordem para uma EDO de pr imeira ordem. Esta \372ltima \351 resolvida pelo m\351todo de Bernoull i." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 13 "2. O comando " }{HYPERLNK 17 "dsolv e" 2 "dsolve" "" }{TEXT -1 35 " retorna uma sequ\352ncia de solu\347 \365es." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "3. As solu\347\365es est\343o \+ na forma impl\355cita." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "4. As integrais est\343o na forma inert do comando " }{HYPERLNK 17 "intat" 2 "intat" "" }{TEXT -1 51 " (observe que a integral s\363 tem o limite superior) ." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "Pode mos obter uma solu\347\343o expl\355cita se " }{XPPEDIT 18 0 "_C1 = 0; " "6#/%$_C1G\"\"!" }{TEXT -1 12 ". O comando " }{TEXT 288 5 "value" } {TEXT -1 45 " \351 necess\341rio para avaliar a integral inerte." }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "sol := solve(value(subs(_C1= 0,res[1])),y(x));" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Podemos confirmar a primeira solu\347\343o." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 " odetest(y(x)=sol[1],EDO);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "Muitas EDO' s, cuja solu\347\365es s\343o dadas por fun\347\365es n\343o elementar es, tamb\351m est\343o classificadas. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Por exemplo, as fun\347\365es de " }{HYPERLNK 17 "Bessel" 2 "Bessel" "" }{TEXT -1 30 " J e Y obedecem a seguinte EDO" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "EDO_Bessel:= x^2*diff(y(x),x,x)+x*diff(y(x),x) +(x^2-n^2)*y(x) = 0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "dso lve(EDO_Bessel);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "A classifica\347\343 o \351 " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "odeadvisor(EDO_Be ssel);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "A solu\347\343o de uma ODE n\343o \351 necessarimente a fun\347 \343o correspondente a classifica\347\343o. A EDO " }}{EXCHG {PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "EDO_erf := diff(y(x),x,x)+2*x*diff(y(x),x)-2 *n*y(x) = 0;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "\351 classificada como" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "odeadvisor(EDO_erf);" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 133 "A classifica\347\343o nos diz que a EDO \+ \351 da forma obedecida pela fun\347\343o erro e correlatas por\351m a solu\347\343o \351 dada em termos das fun\347\365es de " }{HYPERLNK 17 "Whittaker" 2 "Whittaker" "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "dsolve(EDO_erf);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 111 "Podemos verif icar que as integrais iteradas da fun\347\343o erro complementar \351 \+ solu\347\343o dessa EDO atrav\351s do comando " }{TEXT 295 7 "odetest " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "odetest(y(x)=erfc(n,x),E DO_erf);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 "A fun\347\343o erro " } {HYPERLNK 17 "erf" 2 "erf" "" }{TEXT -1 25 " \351 definida pela integr al" }}{PARA 277 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "erf(x) = 2*int(exp(-t^2),t = 0 \+ .. x)/sqrt(Pi);" "6#/-%$erfG6#%\"xG*(\"\"#\"\"\"-%$intG6$-%$expG6#,$*$ %\"tGF)!\"\"/F3;\"\"!F'F*-%%sqrtG6#%#PiGF4" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 44 "e a fun\347\343o erro complementar \351 definida p or " }{XPPEDIT 18 0 "erfc(x) = 1-erf(x);" "6#/-%%erfcG6#%\"xG,&\"\"\"F )-%$erfG6#F'!\"\"" }{TEXT -1 68 ". As integrais iteradas da fun\347 \343o erro \351 definida recursivamente por" }}{PARA 278 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "erfc(n,x) = Int(erfc(n-1,t),t = x .. infinity);" "6#/-% %erfcG6$%\"nG%\"xG-%$IntG6$-F%6$,&F'\"\"\"F/!\"\"%\"tG/F1;F(%)infinity G" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "onde " }{XPPEDIT 18 0 "erfc(0,x) = erfc(x);" "6#/-%%erfcG6$\"\"!%\"xG-F%6#F(" }{TEXT -1 1 ". " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "O com ando " }{TEXT 257 6 "dsolve" }{TEXT -1 121 " n\343o resolve algumas ED O's pois as fun\347\365es que s\343o solu\347\365es dessas equa\347 \365es n\343o est\343o implementadas no Maple. Por exemplo" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "EDO_Mathieu:= diff(y(x),x,x)-cos(2* x)*y(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "sol_EDO:= dsolv e(EDO_Mathieu);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "por\351m essa EDO est \341 classificada como um caso particular as EDO's elipsoidais" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "odeadvisor(EDO_Mathieu);" }} }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "Note que a solu\347\343o \351 dada pela \+ fun\347\343o " }{XPPEDIT 18 0 "DESol(EDO,y(x));" "6#-%&DESolG6$%$EDOG- %\"yG6#%\"xG" }{TEXT -1 121 ". Esse resultado pode ser usado em alguns c\341lculos posteriores como se fosse a pr\363pria solu\347\343o expl \355cita. Por exemplo, se" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "f := rhs(sol_EDO);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "ent\343o" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "diff(f,x,x)/f;" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Uma EDO \351 dita \+ exata (" }{HYPERLNK 17 "exact_linear" 2 "odeadvisor[exact_linear]" "" }{TEXT -1 2 ", " }{HYPERLNK 17 "exact_nonlinear" 2 "odeadvisor[exact_n onlinear]" "" }{TEXT -1 2 ", " }{HYPERLNK 17 "exact order 1" 2 "odeadv isor[exact]" "" }{TEXT -1 4 ") se" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 275 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{XPPEDIT 18 0 "Diff(F(x,y(x),Diff(y(x ),x),diff(y(x),`$`(x,2)),diff(y(x),`$`(x,3)),` ... `),x) = 0;" "6# /-%%DiffG6$-%\"FG6(%\"xG-%\"yG6#F*-F%6$-F,6#F*F*-%%diffG6$-F,6#F*-%\"$ G6$F*\"\"#-F36$-F,6#F*-F86$F*\"\"$%*~~~...~~~GF*\"\"!" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 "Se " } {XPPEDIT 18 0 "F(x,y,z,`...`);" "6#-%\"FG6&%\"xG%\"yG%\"zG%$...G" } {TEXT -1 151 " for uma fun\347\343o linear em todos os argumentos ent \343o a EDO tamb\351m \351 linear. \311 f\341cil de ver que EDO's dess e tipo podem sempre ser reduzidas de uma ordem." }}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 71 "EDO_naolinear_exata:= Diff(F(x,y(x),seq(diff(y (x),x$i),i=1..3)),x) = 0;" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 18 "Por exemplo , a EDO" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 87 "EDO_exata:= diff( y(x),x)*(x+diff(y(x),x)^2*exp(y(x))+2*exp(y(x))*diff(y(x),x,x))=-y(x); " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "\351 exata" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 22 "odeadvisor(EDO_exata);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "Ela pode ser reduzida para uma EDO de primeira ordem" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "sol:=dsolve(EDO_exata);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "que \351 dada por explicitamente por" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "EDO_reduzida:=op([2,2,1,1],sol);" } }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "A EDO reduzida \351 do tipo " } {HYPERLNK 17 "patterns" 2 "odeadvisor[patterns]" "" }{TEXT -1 1 " " }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "odeadvisor(EDO_reduzida);" } }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "por\351m n\343o pode ser resolvida pelo comando " }{HYPERLNK 17 "dsolve" 2 "dsolve" "" }{TEXT -1 6 " para " } {XPPEDIT 18 0 "_C1;" "6#%$_C1G" }{TEXT -1 12 " arbitr\341rio." }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 " " {TEXT -1 7 "Pacote " }{TEXT 256 7 "DEtools" }{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "with(DEtools):" }}}{EXCHG {PARA 262 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Comandos para manipula\347\343o de EDO's" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 17 "" 0 "" {HYPERLNK 17 "DEnorma l" 2 "DEtools[DEnormal]" "" }{TEXT -1 4 " " }{HYPERLNK 17 "autonomo us" 2 "DEtools[autonomous]" "" }{TEXT -1 3 " " }{HYPERLNK 17 "conver tAlg" 2 "DEtools[convertAlg]" "" }{TEXT -1 2 " " }{HYPERLNK 17 "conve rtsys" 2 "DEtools[convertsys]" "" }{TEXT -1 1 "\n" }{HYPERLNK 17 "indi cialeq" 2 "DEtools[indicialeq]" "" }{TEXT -1 2 " " }{HYPERLNK 17 "red uceOrder" 2 "DEtools[reduceOrder]" "" }{TEXT -1 2 " " }{HYPERLNK 17 " regularsp" 2 "DEtools[regularsp]" "" }{TEXT -1 2 " " }{HYPERLNK 17 "t ranslate" 2 "DEtools[translate]" "" }{TEXT -1 3 " \n" }{HYPERLNK 17 " untranslate" 2 "DEtools[translate]" "" }{TEXT -1 1 " " }{HYPERLNK 17 " varparam" 2 "DEtools[varparam]" "" }{TEXT -1 28 " \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "O comando " }{HYPERLNK 17 "reduceOrder" 2 "DEtools[reduceOrder]" " " }{TEXT -1 95 " reduz a ordem da EDO uma vez conhecida uma ou mais so lu\347\365es particulares para ela. A sintaxe \351" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 267 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "reduceOrder(EDO,y(x), `solu\347\343o_particular`,`op\347\343o`);" "6#-%,reduceOrderG6&%$EDOG -%\"yG6#%\"xG%3solu|by|^yo_particularG%&op|by|^yoG" }{TEXT -1 11 " \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "Por exemplo, a EDO de terceira ordem" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "EDO := cos(x)*diff(y(x),x$3)-diff(y(x),x$2)+Pi*diff(y (x),x)=y(x)-x;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 36 "tem como solu \347\343o particular a fun\347\343o" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "f := x -> x + Pi;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "como podemos verificar com o comando " }{HYPERLNK 17 "odetest" 2 "odetest" "" }{TEXT -1 1 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "odetest(y(x)=f(x),EDO);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 " Podemos reduzir essa EDO para uma outra de segunda ordem" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "EDO_reduzida := reduceOrder(EDO,y(x ),x+Pi);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "cuja solu\347\343o geral n\343o inclui ma is a fun\347\343o " }{XPPEDIT 18 0 "f(x) = x+Pi;" "6#/-%\"fG6#%\"xG,&F '\"\"\"%#PiGF)" }{TEXT -1 1 "." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "O comando " }{HYPERLNK 17 "convertAlg" 2 "DEtools[convertAlg]" "" } {TEXT -1 74 " converte um EDO linear em uma lista com 2 elementos. Se \+ a EDO tem a forma" }}{PARA 268 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "A[1]*y(x)+A[2]*d iff(y(x),x)+A[3]*diff(y(x),x,x)+`...` = f(x);" "6#/,**&&%\"AG6#\"\"\"F )-%\"yG6#%\"xGF)F)*&&F'6#\"\"#F)-%%diffG6$-F+6#F-F-F)F)*&&F'6#\"\"$F)- F36%-F+6#F-F-F-F)F)%$...GF)-%\"fG6#F-" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "ent\343o o resultado da aplica\347\343o do comando \351" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 269 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "[[A[1], A[2], A[3], `...`], f(x)];" " 6#7$7&&%\"AG6#\"\"\"&F&6#\"\"#&F&6#\"\"$%$...G-%\"fG6#%\"xG" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "O comando " } {HYPERLNK 17 "convertsys" 2 "DEtools[convertsys]" "" }{TEXT -1 102 " c onverte uma EDO ou um sistema de EDO's de qualquer ordem para um siste ma de EDO's de primeira ordem." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}} {EXCHG {PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 26 "Comandos para visualiza\347\343o " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 17 "" 0 "" {HYPERLNK 17 "DEp lot" 2 "DEtools[DEplot]" "" }{TEXT -1 1 " " }{HYPERLNK 17 "DEplot3d" 2 "DEtools[DEplot3d]" "" }{TEXT -1 1 " " }{HYPERLNK 17 "dfieldplot" 2 "DEtools[dfieldplot]" "" }{TEXT -1 1 " " }{HYPERLNK 17 "phaseportrait " 2 "DEtools[phaseportrait]" "" }{TEXT -1 2 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "O comando " }{HYPERLNK 17 "DEplot" 2 "DEtools[DEplot]" "" }{TEXT -1 154 " faz o gr\341fico da solu\347\343o de uma EDO de qualquer ordem ou faz o gr\341fico direci onal de um sistema de duas EDO's de primeira ordem. A sintaxe para uma EDO \351" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 " DEplot(EDO, y(x), x=a..b, CI, y=c..d, op\347\365es)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "e para um siste ma de duas EDO's \351 " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 75 " DEplot(\{EDO1, EDO2\}, \{y(x),z(x)\}, x=a..b, \+ CI, y=c..d, z=e..f, op\347\365es)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "onde " }{TEXT 23 82 "CI s\343o as condi \347\365es iniciais nas forma de lista de listas (veja exemplos abaixo ). " }{TEXT -1 83 "Considere a seguinte EDO de segunda ordem que n\343 o pode ser resolvida com o comando " }{HYPERLNK 17 "dsolve" 2 "dsolve " "" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 88 "EDO \+ := cos(x)*(x+Pi)*diff(y(x),x,x)-(x+Pi-3*cos(x))*diff(y(x),x)+(Pi*x+Pi^ 2-2)*y(x) = 0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Considere as co ndi\347\365es iniciais" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "C I := [[y(0)=1,D(y)(0)=2]];" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "O g r\341fico da solu\347\343o para " }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" } {TEXT -1 14 " no intervalo " }{XPPEDIT 18 0 "[-2, 2];" "6#7$,$\"\"#!\" \"F%" }{TEXT -1 2 " \351" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "DEplot(EDO, y(x), x=-2..2, CI);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "O sistema de EDO's " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 65 " sistema_EDO := \{diff(y(x),x)=y(x)-z(x),diff(z(x),x)=z(x)-2*y(x)\};" } }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "com as condi\347\365es iniciais " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "CI := [[y(0)=1.638,z(0) =2.31]];" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "tem o sequinte gr\341 fico de dire\347\365es com a curva que obedece as condi\347\365es inic iais em destaque." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "DEplot (sistema_EDO, \{y(x),z(x)\}, x=0..3, CI, y=0..2, z=-4..4);\n" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "O mesmo gr\341fico pode ser obtido com o comando " }{HYPERLNK 17 "phaseportrait" 2 "DEtools[phaseportrai t]" "" }{TEXT -1 18 " ou com o comando " }{HYPERLNK 17 "dfieldplot" 2 "DEtools[dfieldplot]" "" }{TEXT -1 101 ", por\351m este \372ltimo sem \+ usar condi\347\365es iniciais. Os comandos equivalentes que geram o gr \341fico acima \351" }}{PARA 265 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "phaseportrait( sistema_EDO,\{y(x), z(x)\},x = 0 .. 3,CI,y = 0 .. 2,z = -4 .. 4);" "6# -%.phaseportraitG6(%,sistema_EDOG<$-%\"yG6#%\"xG-%\"zG6#F+/F+;\"\"!\" \"$%#CIG/F);F1\"\"#/F-;,$\"\"%!\"\"F:" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 264 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "dfieldplot(sistema_ EDO,\{y(x), z(x)\},x = 0 .. 3,y = 0 .. 2,z = -4 .. 4);" "6#-%+dfieldpl otG6'%,sistema_EDOG<$-%\"yG6#%\"xG-%\"zG6#F+/F+;\"\"!\"\"$/F);F1\"\"#/ F-;,$\"\"%!\"\"F9" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "O gr\341fico tri-dimensional da curva em \+ destaque do comando acima pode ser feito com o comando " }{HYPERLNK 17 "DEplot3d" 2 "DEtools[DEplot3d]" "" }{TEXT -1 10 ". A op\347\343o \+ " }{XPPEDIT 18 0 "scene = [x, z(x), y(x)];" "6#/%&sceneG7%%\"xG-%\"zG6 #F&-%\"yG6#F&" }{TEXT -1 41 " especifica a ordem dos eixos no gr\341fi co." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "DEplot3d(sistema_EDO , \{y(x),z(x)\}, x=0..3, CI, y=0..2, " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "z=-4..4, scene=[x,z(x),y(x)]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 279 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 261 "" 0 "" {TEXT -1 70 "Comandos que retornam solu\347\365es de EDO's e de sistema de EDO's lineares" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 125 "Exite uma s\351rie de comandos que resol vem EDO's de tipos particulares. A maioria desses m\351todos est\341 \+ implementada no comando " }{HYPERLNK 17 "dsolve" 2 "dsolve" "" }{TEXT -1 35 " por\351m as solu\347\365es retornadas pelo " }{HYPERLNK 17 "ds olve" 2 "dsolve" "" }{TEXT -1 219 " n\343o s\343o totalmente equivalen tes \340s solu\347\365es retornadas por esses comandos particulares, p rincipalmente com rela\347\343o a forma das solu\347\365es e com rela \347\343o a solu\347\365es especiais de EDO's n\343o lineares. A lista desses comando \351" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 17 "" 0 "" {HYPERLNK 17 "RiemannPsols" 2 "DEtools[RiemannPsols]" "" }{TEXT -1 3 " " }{HYPERLNK 17 "abelsol" 2 "DEtools[abelsol]" "" }{TEXT -1 3 " \+ " }{HYPERLNK 17 "bernoullisol" 2 "DEtools[bernoullisol]" "" }{TEXT -1 1 " " }{HYPERLNK 17 "chinisol" 2 "DEtools[chinisol]" "" }{TEXT -1 5 " " }{HYPERLNK 17 "clairautsol" 2 "DEtools[clairautsol]" "" } {TEXT -1 4 " \n" }{HYPERLNK 17 "constcoeffsols" 2 "DEtools[constcoef fsols]" "" }{TEXT -1 1 " " }{HYPERLNK 17 "eulersols" 2 "DEtools[eulers ols]" "" }{TEXT -1 1 " " }{HYPERLNK 17 "exactsol" 2 "DEtools[exactsol] " "" }{TEXT -1 5 " " }{HYPERLNK 17 "expsols" 2 "DEtools[expsols]" "" }{TEXT -1 6 " " }{HYPERLNK 17 "genhomosol" 2 "DEtools[genhomos ol]" "" }{TEXT -1 5 " \n" }{HYPERLNK 17 "kovacicsols" 2 "DEtools[ko vacicsols]" "" }{TEXT -1 4 " " }{HYPERLNK 17 "liesol" 2 "DEtools[li esol]" "" }{TEXT -1 4 " " }{HYPERLNK 17 "linearsol" 2 "DEtools[line arsol]" "" }{TEXT -1 4 " " }{HYPERLNK 17 "matrixDE" 2 "DEtools[matr ixDE]" "" }{TEXT -1 5 " " }{HYPERLNK 17 "parametricsol" 2 "DEtools [parametricsol]" "" }{TEXT -1 2 " \n" }{HYPERLNK 17 "polysols" 2 "DEto ols[polysols]" "" }{TEXT -1 7 " " }{HYPERLNK 17 "ratsols" 2 "DEt ools[ratsols]" "" }{TEXT -1 3 " " }{HYPERLNK 17 "riccatisol" 2 "DEto ols[riccatisol]" "" }{TEXT -1 3 " " }{HYPERLNK 17 "separablesol" 2 " DEtools[separablesol]" "" }{TEXT -1 16 " " }}{PARA 17 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "As EDO's de Riccati tem a forma" }}{PARA 260 " " 0 "" {XPPEDIT 18 0 "diff(y(x),x) = a+b*y(x)+c*y(x)^2;" "6#/-%%diffG6 $-%\"yG6#%\"xGF*,(%\"aG\"\"\"*&%\"bGF--F(6#F*F-F-*&%\"cGF-*$-F(6#F*\" \"#F-F-" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "onde " } {XPPEDIT 18 0 "a,b,c;" "6%%\"aG%\"bG%\"cG" }{TEXT -1 16 " s\343o fun \347\365es de " }{XPPEDIT 18 0 "x;" "6#%\"xG" }{TEXT -1 8 ". A EDO " } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 "Riccati_EDO := x*diff(y(x) ,x) + y(x) = 3*x^2*y(x)^2;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 " \351 do tipo Riccati, portanto pode ser resolvida pelo comando " } {HYPERLNK 17 "riccatisol" 2 "DEtools[riccatisol]" "" }{TEXT -1 1 "." } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "riccatisol(Riccati_EDO, y( x) );" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Compare agora com a solu \347\343o obtida com o comando " }{HYPERLNK 17 "dsolve" 2 "dsolve" "" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "dsolve(Ri ccati_EDO);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "A solu\347\343o es pecial " }{XPPEDIT 18 0 "y(x) = 0;" "6#/-%\"yG6#%\"xG\"\"!" }{TEXT -1 42 " n\343o foi dada explicitamente pelo comando " }{HYPERLNK 17 "dsol ve" 2 "dsolve" "" }{TEXT -1 52 ", por\351m ela pode ser obtida tomando o limite quando " }{XPPEDIT 18 0 "_C1;" "6#%$_C1G" }{TEXT -1 7 " vai \+ a " }{XPPEDIT 18 0 "infinity;" "6#%)infinityG" }{TEXT -1 1 "." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "O comando " }{HYPERLNK 17 "matrixDE" 2 "DEtools[matrixDE]" "" }{TEXT -1 57 " a cha a solu\347\343o de um sistema de EDO's lineares da forma " }} {PARA 263 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "diff(X(t),t) = A(t)*X(t)+B(t);" "6#/- %%diffG6$-%\"XG6#%\"tGF*,&*&-%\"AG6#F*\"\"\"-F(6#F*F0F0-%\"BG6#F*F0" } {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "onde " }{XPPEDIT 18 0 "A(t );" "6#-%\"AG6#%\"tG" }{TEXT -1 3 " e " }{XPPEDIT 18 0 "B(t);" "6#-%\" BG6#%\"tG" }{TEXT -1 84 " s\343o matrizes. Por exemplo, o sistema de E DO's pode ser resolvido da seguinte forma." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 27 "A := matrix(2,2,[1,t,t,1]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "sol := matrixDE(A,t);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 28 "M\351todo de Sim etrias de Lie (" }{TEXT 291 13 "em constru\347\343o" }{TEXT -1 1 ")" } }{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "O comando " }{TEXT 285 6 "dsolve " }{TEXT -1 531 " da vers\343o 5.5 introduziu o uso do m\351todo de si metrias de Lie para resolver EDO's. Este m\351doto requer solu\347\365 es particulares de uma equa\347\343o diferencial PARCIAL associada. Em geral a EDP associada \351 mais complicada que a ODE original por\351 m, como basta uma solu\347\343o particular da EDP, m\351todos her\355s ticos s\343o bem sucedidos em muitos casos. O m\351todo de simetrias d e Lie \351 \372til para resolver EDO's n\343o-classific\341veis j\341 \+ que n\343o h\341 nenhum outro m\351todo a disposi\347\343o (exceto tal vez o m\351todo de Prelle-Singer para EDO de primeira ordem[Ref])." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "A EDO" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "EDO := diff(y(x),x)=(y(x)-x* ln(x))^2/(x^2) + ln(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 "do tipo " }{HYPERLNK 17 "Riccati" 2 "odeadvisor[Riccati]" "" }{TEXT -1 0 "" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "odeadvisor(EDO);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "\351 resolvida atrav\351s do m\351 todo de simetrias de Lie como podemos ver ap\363s aumentar o valor de \+ " }{TEXT 293 9 "infolevel" }{TEXT -1 1 "[" }{TEXT 292 6 "dsolve" } {TEXT -1 2 "]." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "infolevel [dsolve]:=5:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "dsolve(EDO) ;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "infolevel[dsolve]:=1: " }}}{EXCHG {PARA 276 "" 0 "" {TEXT -1 30 "Classifica\347\343o usando \+ simetrias" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 17 "" 0 "" {TEXT -1 2 " " }{HYPERLNK 17 "sym_implicit" 2 "odeadvisor[sym_implicit]" " " }{TEXT -1 3 ", " }{HYPERLNK 17 "sym_Fx" 2 "odeadvisor[sym_Fx]" "" } {TEXT -1 3 ", " }{HYPERLNK 17 "linear_sym" 2 "odeadvisor[linear_sym] " "" }{TEXT -1 2 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 266 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Comandos relacionados com o m\351todo de sime trias de Lie" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "Os seguintes comandos do pacote " }{HYPERLNK 17 "DEtools" 2 "D Etools" "" }{TEXT -1 65 " s\343o relacionados com o m\351todo de simet rias de Lie (veja tamb\351m ?" }{HYPERLNK 17 "DEtools,Lie" 2 "DEtools, Lie" "" }{TEXT -1 2 ")." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 17 " " 0 "" {HYPERLNK 17 "buildsol" 2 "DEtools[buildsol]" "" }{TEXT -1 1 " \+ " }{HYPERLNK 17 "buildsym" 2 "DEtools[buildsym]" "" }{TEXT -1 2 " " } {HYPERLNK 17 "canoni" 2 "DEtools[canoni]" "" }{TEXT -1 3 " " } {HYPERLNK 17 "equinv" 2 "DEtools[equinv]" "" }{TEXT -1 3 " " } {HYPERLNK 17 "eta_k" 2 "DEtools[eta_k]" "" }{TEXT -1 3 " \n" } {HYPERLNK 17 "infgen" 2 "DEtools[infgen]" "" }{TEXT -1 3 " " } {HYPERLNK 17 "intfactor" 2 "DEtools[canoni]" "" }{TEXT -1 2 " " } {HYPERLNK 17 "line_int" 2 "DEtools[line_int]" "" }{TEXT -1 2 " " } {HYPERLNK 17 "odepde" 2 "DEtools[odepde]" "" }{TEXT -1 2 " " } {HYPERLNK 17 "symgen" 2 "DEtools[symgen]" "" }{TEXT -1 2 " " }}{PARA 17 "" 0 "" {HYPERLNK 17 "symtest" 2 "DEtools[symtest]" "" }{TEXT -1 3 " " }{HYPERLNK 17 "transinv" 2 "DEtools[transinv]" "" }{TEXT -1 28 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 " \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 263 15 "M\351todo Num\351rico" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 364 "P odemos resolver uma equa\347\343o diferencial sem par\342metros livres usando m\351todos num\351ricos. A solu\347\343o \351 dada na forma de um procedimento que pode ser usado para gerar o valor da solu\347\343 o em determinados pontos ou para gerar o gr\341fico da solu\347\343o. \+ Vimos que a equa\347\343o de Mathieu n\343o pode ser resolvida exatame nte. Vamos fazer o gr\341fico da solu\347\343o com condi\347\365es ini ciais." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "Mathieu_EDO := dif f(y(x),x,x)-cos(2*x)*y(x);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "ci := y(0)=1, D(y)(0)=1;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "F := dsolve( \{ Mathieu_EDO, ci \}, y(x), numeric):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{TEXT 260 1 "F" }{TEXT -1 93 " \351 um procedi mento que fornece o valor da fun\347\343o e da derivada primeira uma v ez dado o ponto " }{TEXT 261 1 "x" }{TEXT -1 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "F(0);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "F(1);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 " Para fazer o gr\341fico, \+ podemos usar o comando " }{TEXT 259 7 "odeplot" }{TEXT -1 11 " do paco te " }{TEXT 258 5 "plots" }{TEXT -1 1 ":" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "plots[odeplot](F,[x,y(x)], 0..6*Pi);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 265 "Se o usu\341rio n\343o especificar o m\351todo de resolu\347 \343o numerica, o Maple usa o m\351todo de Euler. Existem v\341rios ou tros m\351todos como o de Runge-Kutta de segunda, terceira ou quarta o rder, Adams-Bashford, s\351ries de Taylor entre v\341rios outros. Para mais informa\347\365es veja o " }{TEXT 269 12 "help on line" }{TEXT -1 5 " de ?" }{HYPERLNK 17 "dsolve, numeric" 2 "dsolve, numeric" "" } {TEXT -1 1 "." }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 265 16 "M\351todo de S\351ries" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 307 "\311 poss\355vel encontrar uma expans\343o em s\351ries para a so lu\347\343o de uma EDO ou de um sistema de EDO's sem a resolu\347\343o direta da equa\347\343o. Os m\351todos usados s\343o o m\351todo de i tera\347\343o de Newton, m\351todo de Frobenius ou m\351todo de substi tui\347\343o por uma s\351ria com coeficientes arbitr\341rios a serem \+ determinados. A sintaxe \351" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 30 " dsolve(EDO, y(x), series)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 " dsolve(\{EDO, ICs\}, y(x), series)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 " dsolve(\{seq_de_EDOs, CIs\}, \{funcs\}, series) " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "onde \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " \+ " }{TEXT 23 10 "ODE \351 uma " }{TEXT -1 29 "equa\347\343o diferencial ordin\341ria" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }{TEXT 23 52 "y(x) \351 uma fun\347\343o indeterminada de um \372nica vari\341vel" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }{TEXT 23 30 "CI's s\343o as condic \365es iniciais" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }{TEXT 23 36 "\{ seq_de_EDOs\} \351 um conjunto de EDO's" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }{TEXT 23 68 "\{funcs\} \351 um conjunto de fun\347\365es inde terminadas de um \372nica vari\341vel" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 "Novamente vamos usar a equa\347\343o \+ de Mathieu como exemplo." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 " Order:=12:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "dsolve(\{Math ieu_EDO,y(0)=0,D(y)(0)=1\},y(x),series);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 11 "A vari\341vel " }{TEXT 266 5 "Order" }{TEXT -1 72 " controla a ord em da solu\347\343o. Vejamos um exemplo de um sistema de EDO's." }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "Order:= 3:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "sistema:=\{diff(y(t),t)=-x(t),diff(x(t),t )=y(t)\};" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "dsolve(sistema union \{x(0)=A,y(0)=B\},\{x(t),y(t)\}, type=series);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "Compare o resultado com a expans\343o em \+ s\351rie da solu\347\343o exata." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "res := dsolve(sistema union \{x(0)=A,y(0)=B\},\{x(t), y(t)\});" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "map(x->lhs(x)=s eries(rhs(x),t), res);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Para mais informa\347\365es vej a o " }{TEXT 268 12 "help on line" }{TEXT -1 5 " de ?" }{HYPERLNK 17 " dsolve, series" 2 "dsolve, series" "" }{TEXT -1 1 "." }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT 264 28 "M\351todo de S\351ries de Pot\352ncia" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "O pacote " }{HYPERLNK 17 "powseries" 2 "p owseries" "" }{TEXT -1 188 " usa o m\351todo de s\351ries de pot\352nc ia para resolver equa\347\365es diferenciais ordin\341rias lineares. E ste pacote trata de um conjunto menor de equa\347\365es comparado com \+ o m\351todo de s\351ries do comando " }{TEXT 262 6 "dsolve" }{TEXT -1 148 ", no entanto ele fornece mais informa\347\365es sobre a solu\347 \343o, como a f\363rmula de recorr\352ncia dos coeficientes da s\351ri es de pot\352ncia. Vejamos um exemplo." }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "EDO:=x*diff(y(x),x,x)+diff(y(x),x)+4*x^2*y(x) = 0;" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "CI:= y(0)=1,D(y)(0)=0;" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "with(powseries);" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "sol := powsolve(\{EDO,CI\}): " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 173 " A solu\347\343o \351 um procedime nto que deve ser usado nos outros comandos do pacote para se obter o r esultado desejado. Por exemplo, a expans\343o em s\351rie de pot\352nc ia at\351 ordem 15 \351" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "t psform(sol,x,15);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 " A rela\347\343o de recorr\352ncia dos coeficientes \351" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "a(_k) = sol(_k);" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Para mais inf orma\347\365es veja o " }{TEXT 267 12 "help on line" }{TEXT -1 4 " de \+ " }{HYPERLNK 17 "?powseries" 2 "powseries" "" }{TEXT -1 1 "." }}}} {SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 10 "Exerc\355cios" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "1) a. Resolva a EDO" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/- %\"yG6#%\"xG,&*&F'\"\"\"-%%diffG6$F$F'F*F*-%&dilogG6#F+F*" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 27 "b. Qual \351 o tipo dessa EDO?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "c. Confirme que todas as solu\347\365es obedecem a equa \347\343o." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "2) a. Ache todas as solu\347 \365es da EDO" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/-%%diffG6$-%\"yG6#% \"xGF**$-%%sqrtG6#,&\"\"\"F0*$)F'\"\"#F0!\"\"F0" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 125 "b. Por inspe\347\343o na EDO verifique se voce realmente obteve todas as solu\347\365es dessa equa\347\343o (existem duas solu \347\365es singulares)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 161 "c. Fa\347a o \+ gr\341fico simult\342neo da solu\347\343o geral para v\341rios valores da constante arbitr\341ria e verifique que todos os gr\341ficos s\343 o tangentes \340s solu\347\365es singulares." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 22 "d. Atrav\351s do comando " }{HYPERLNK 17 "piecewise" 2 "piecewi se" "" }{TEXT -1 120 " construa fun\347\365es por partes usando da sol u\347\343o geral e as solu\347\365es singulares e mostre que essas fun \347\365es obedecem \340 EDO." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "e. Repit a os \355tens anteriores para a EDO" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6 #/-%%diffG6$-%\"yG6#%\"xGF**$-%%sqrtG6#F'\"\"\"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 96 "3) Encontre pelo menos uma solu\347\343o dependendo de uma cons tante arbitr\341ria para as seguinte EDO's" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,(-%%diffG6$-%\"yG6#%\"xG-%\"$G6$F+\"\"#\"\"\"*(-%%cos hGF*F0-F&6$F(F+F0F(F0!\"#*&)F(F/F0-%%sinhGF*F0!\"\"F9" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/,(*&-%$expG6#-%\"yG6#%\"xG\"\"\"-%%diffG6$F)-%\"$ G6$F,\"\"#F-F4*&F&F-)-F/6$F)F,F4F-F-*&F)F-F7!\"\"F-,$F,F:" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 29 "Equa\347 \365es diferencias parciais" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 10 "In trodu\347\343o" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "O comando " }{HYPERLNK 17 "pdesolve" 2 "pdesolve" "" }{TEXT -1 105 " da vers\343o 5.4 para re solver EDP's foi descontinuado e ser\341 eliminado em vers\365es futur as. O novo comando " }{HYPERLNK 17 "pdsolve" 2 "pdsolve" "" }{TEXT -1 153 " substitui o anterior, e, apesar de ter muitas limita\347\365es, \+ houve um avan\347o consider\341vel com rela\347\343o \340 implementa \347\343o anterior. A sintaxe do novo comando \351" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 " pdsolve(EDP)" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 " pdsolve(EDP, f, HINT=..., INTEGRATE, build)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "onde" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " \+ " }{TEXT 23 37 "EDP \351 uma equa\347\343o diferencial parcial" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }{TEXT 23 45 "f \351 o nome da fun \347\343o indeterminada (opcional)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " \+ " }{TEXT 23 55 "HINT=... \351 um par\342metro de sugest\365es dado pe lo usu\341rio " }{TEXT -1 10 "(opcional)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }{TEXT 23 10 "INTEGRATE " }{TEXT -1 110 "provoca a integra \347\343o autom\341tica das ODE's encontradas pelo m\351todo de separa \347\343o de vari\341veis da EDP (optional) " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 " " }{TEXT 23 5 "build" }{TEXT 271 1 " " }{TEXT 272 121 " ten ta construir uma express\343o expl\355cita para a fun\347\343o indeter minada seja qual for a generalidade da solu\347\343o encontrada (" } {TEXT -1 9 "opcional)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 182 " Os par\342metros opcionais podem ser usados em qual quer ordem. Se o comando pdsolve n\343o tiver sucesso, a op\347\343o H INT permite ao usu\341rio sugerir uma estrat\351gia para a resolu\347 \343o da EDP. " }}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 35 "Solu\347\343o \+ Geral e Solu\347\343o Quase-geral" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 102 "Pdsolve tenta em primeiro lugar achar uma solu\347\343o geral da \+ EDP. Por exemplo, considere a seguinte EDP." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 61 "EDP := exp(y)*diff(F(x,y,z),x)+2*sin(2*x)*diff(F(x,y,z),y)=0;" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "Pdsolve encontra a solu\347\343o g eral em termos da fun\347\343o arbitr\341ria " }{XPPEDIT 18 0 "_F1;" " 6#%$_F1G" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "sol := pdsolve(EDP);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "Podemos \+ testar o resultado atrav\351s do comando " }{HYPERLNK 17 "pdetest" 2 " pdetest" "" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "pdetest(sol,EDP);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 30 "A solu \347\343o de uma EDP de ordem " }{XPPEDIT 18 0 "n;" "6#%\"nG" }{TEXT -1 15 " dependendo de " }{XPPEDIT 18 0 "k;" "6#%\"kG" }{TEXT -1 46 " v ari\341veis \351 geral quando \351 dada em termos de " }{XPPEDIT 18 0 "n;" "6#%\"nG" }{TEXT -1 23 " fun\347\365es arbitr\341rias e " } {XPPEDIT 18 0 "k-1;" "6#,&%\"kG\"\"\"F%!\"\"" }{TEXT -1 108 " vari\341 veis. No exemplo acima, a ordem da EDP \351 1 (derivada de ordem mais \+ alta) e o n\372mero de vari\341veis \351 3 (" }{XPPEDIT 18 0 "x,y,z;" "6%%\"xG%\"yG%\"zG" }{TEXT -1 70 "). Podemos ver que a solu\347\343o \+ \351 dada em termos de 1 fun\347\343o arbitr\341ria (" }{XPPEDIT 18 0 "_F1;" "6#%$_F1G" }{TEXT -1 29 ") que depende de 2 vari\341veis." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 3 "Se " } {TEXT 273 7 "pdsolve" }{TEXT -1 73 " n\343o consegue achar a solu\347 \343o geral, a solu\347\343o \351 dada usando a estrutura " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 259 "" 0 "" {TEXT 274 78 "(solu\347\343o em termos de _F1, _F2, ...) &where [\{EDO's envolvendo _F1, _F2, ... \}]" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 13 "Ne sse caso, " }{XPPEDIT 18 0 "_F1,_F2,...;" "6#%#%?G" }{TEXT -1 97 " n \343o s\343o fun\347\365es arbitr\341rias. Elas obedecem \340s EDO's d escritas pelo segundo operando do operador " }{TEXT 275 6 "&where" } {TEXT -1 80 ". Por exemplo, a equa\347\343o de difus\343o (ou de propa ga\347\343o de calor) em 1 dimens\343o \351 " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 "EDP := a^2*diff(f(x,t),x,x)+0*diff(f(x,y),y,y) = diff(f(x,t),t);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "A solu\347 \343o \351 dada da forma" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "sol1 := pdsolve(EDP);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 5 "onde " } {XPPEDIT 18 0 "_c1;" "6#%$_c1G" }{TEXT -1 63 " \351 a constante de sep ara\347\343o de vari\341veis. O argumento opcional " }{TEXT 276 5 "bui ld" }{TEXT -1 61 " provoca a integra\347\343o das EDO's dadas no segun do operando de " }{TEXT 277 6 "&where" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "sol2 := pdsolve(EDP,build);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "onde as constantes " }{XPPEDIT 18 0 "_C1,_C2,_C3;" "6%%$_C1G%$_C2G%$_C3G" }{TEXT -1 101 " foram introduz idas na integra\347\343o de uma ODE de segunda ordem e uma ODE de pri meira orderm. A op\347\343o " }{TEXT 278 9 "INTEGRATE" }{TEXT -1 41 " \+ produz um resultado mantendo o operador " }{TEXT 279 6 "&where" } {TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "sol3 := pd solve(EDP,INTEGRATE);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "O comand o " }{HYPERLNK 17 "pdetest" 2 "pdetest" "" }{TEXT -1 48 " funciona com qualquer dessas formas de solu\347\343o." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 32 "seq(pdetest(sol||i,EDP),i=1..3);" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 9 "O Pacote " }{TEXT 284 8 "PDEtools" }} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "O pacote " }{HYPERLNK 17 "PDEtool s" 2 "PDEtools" "" }{TEXT -1 44 " contem fun\347\365es que complementa m o comando " }{HYPERLNK 17 "pdesolve" 2 "pdesolve" "" }{TEXT -1 44 " na tarefa de encontrar solu\347\365es para EDP's." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "with(PDEtools);" }}}{EXCHG {PARA 256 "" 0 " " {TEXT -1 5 "build" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 10 "O comando " }{HYPERLNK 17 "build" 2 "build" "" }{TEXT -1 1 " " }{TEXT 30 103 "constr\363i uma solu\347\343o expl\355cita par a as fun\347\365es indeterminadas que obedecem as EDO's dentro do oper ador " }{TEXT 280 6 "&where" }{TEXT 30 25 ". O argumento do comando " }{TEXT 281 5 "build" }{TEXT 30 94 " deve ser uma solu\347\343o forneci do pelo comando pdsolve. Por exemplo, considere a EDP de Laplace." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "Laplace_EDP := diff(f(x,y),x ,x)+diff(f(x,y),y,y)=0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "A solu \347\343o \351 dada em termos de duas fun\347\365es indeterminadas." } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "sol := pdsolve(Laplace_EDP );" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Para construir uma solu\347 \343o expl\355cita:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "buil d(sol);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 7 "dchange" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 10 "O comando " }{HYPERLNK 17 "dchange" 2 "dchange" "" } {TEXT -1 123 " serve para fazer mudan\347a de vari\341veis em EDP (e e m outras express\365es alg\351bricas). A t\355tulo de exemplo vamos re solver a EDP" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "EDP := 3*di ff(f(x,y),x) + 4*diff(f(x,y),y) - 2*f(x,y) =1;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "sem usar o comando " }{TEXT 282 7 "pdsolve" }{TEXT -1 55 ". Vamos considerar a seguinte tranforma\347\343o de vari\341vei s" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 "tr := \{x=v*cos(alpha) -w*sin(alpha),y=v*sin(alpha)+w*cos(alpha)\};" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 38 "e a partir dela determinar o valor de " }{XPPEDIT 18 0 "alpha;" "6#%&alphaG" }{TEXT -1 79 " que transforma a EDP numa ODE. Um a vez que essa tranforma\347\343o possui par\342metro " }{XPPEDIT 18 0 "alpha;" "6#%&alphaG" }{TEXT -1 39 ", vamos adicionar o terceiro arg umento " }{XPPEDIT 18 0 "[v, w];" "6#7$%\"vG%\"wG" }{TEXT -1 13 " no c omando " }{HYPERLNK 17 "dchange" 2 "dchange" "" }{TEXT -1 1 "." }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "new_EDP := dchange(tr,EDP,[v ,w]);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 62 "Vamos fazer a seguinte s ubstitui\347\343o para eliminar o par\342metro " }{XPPEDIT 18 0 "alpha ;" "6#%&alphaG" }{TEXT -1 44 " que infelizmente foi introduzido na fun \347\343o " }{XPPEDIT 18 0 "f;" "6#%\"fG" }{TEXT -1 1 "." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "new_EDP := subs(f(v,w,alpha)=f(v,w) ,new_EDP);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 17 "Vamos determinar " }{XPPEDIT 18 0 "alpha;" "6#%&alphaG" }{TEXT -1 37 " de forma que o coe ficiente do termo " }{XPPEDIT 18 0 "diff(f(v,w),w);" "6#-%%diffG6$-%\" fG6$%\"vG%\"wGF*" }{TEXT -1 11 " seja zero." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "coeff_w := coeff(lhs(new_EDP),diff(f(v,w),w));" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "alpha := solve(coeff_w=0, a lpha);" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "Vejamos o formato da ED P agora." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "new_EDP;" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "Ela pode ser resolvida como o coma ndo " }{HYPERLNK 17 "dsolve" 2 "dsolve" "" }{TEXT -1 22 ". (em vez de \+ pdsolve)." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "sol := dsolve( new_EDP,f(v,w));" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "O \372ltimo p asso \351 recuperar as vari\341veis originais." }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "f(x,y) = subs(solve(tr,\{v,w\}), rhs(sol));" } }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "Podemos confirmar a solu\347\343 o." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "pdetest(%, EDP);" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT -1 7 "P DEplot" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 "O comando " }{HYPERLNK 17 "PDEplot" 2 "PDEtools[PDEplot]" "" }{TEXT -1 157 " faz o gr\341fico da solu\347\343o de uma EDP de primeira orde m uma vez dadas as condi\347\365es iniciais. A EDP n\343o pode ter par \342metro livres. Como exemplo, consider a EDP" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 92 "Maple_logo_EDP := (y^2+z(x,y)^2+x^2)*diff(z(x, y),x) - 2*x*y*diff(z(x,y),y)\n- 2*z(x,y)*x = 0;" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 68 "cuja solu\347\343o fornece o gr\341fico usado como l ogo da vers\343o 4 do Maple." }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 204 "PDEplot(Maple_logo_EDP, z(x,y), [t,t,sin(Pi*t/0.1)/10], t=0..0. 1, numchar=40,\norientation=[-163,56], basechar=true, numsteps=[20,20] , stepsize=.15,\ninitcolour=cos(t)*t, animate=false, style=PATCHCONTOU R);" }}}}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 22 "Limita\347\365es do Coma ndo " }{TEXT 283 7 "pdsolve" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "A implemen ta\347\343o da vers\343o 5.5 n\343o \351 capaz de resolver " }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 18 "sistemas de EDP's." }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 36 "EDP obedecendo condi\347\365es de contorno" }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 21 "por m\351todos num\351ricos" }}{PARA 15 "" 0 "" {TEXT -1 21 "por m\351todos de s\351ries" }}}}}{MARK "1" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 1 1 1 1 }{PAGENUMBERS 0 1 2 33 1 1 }